Модель Башельє (нормальна)

Модель Башельє (1900) стала першою моделлю ціноутворення опціонів, на 73 роки раніше за Блека-Шоулза. Зміни ціни в ній адитивні та мають нормальний розподіл. Замість відсоткової дохідності (логнормальна модель) Башельє моделює зміни ціни в доларах (нормальна модель). Ціна може стати від'ємною. Для акцій це вада, а для процентних ставок це перевага.

Модель має рівно один параметр: нормальну волатильність в абсолютному вираженні (наприклад, "$50/рік" замість "30%/рік"). Усмішки немає. Якби світ був світом Башельє, кожен опціон на всіх страйках мав би однакову нормальну волатильність. Пласка усмішка і є головним прогнозом моделі.

💡

Скью може бути артефактом моделі

Башельє за побудовою дає пласку усмішку. Переведіть ці ціни в імпліцитну волатильність Блека-Шоулза, і ви отримаєте скью. Цього скью немає на ринку. Він виникає тому, що логнормальну математику накладають на світ, який може бути нормальним.

Дослідіть модель

Пласка синя пунктирна лінія відображає погляд Башельє: одна волатильність для всіх страйків. Зелена крива показує ті самі ціни опціонів, виражені в термінах Блека-Шоулза. Знизьте спот-ціну і подивіться, як видимий скью BS стає крутішим, хоча у світі Башельє нічого не змінилося.

Оглядач Bachelier vs Black-Scholes

Типове налаштування. Усмішка Bachelier пласка за визначенням. Ті самі ціни, перевиражені в термінах BS, дають скью.

Нормальна вол.20

Абсолютна волатильність у $/рік (не у відсотках)

Спот-ціна (S)100

Нижчий спот = більш виражений скью BS

Пласка синя пунктирна лінія — погляд Bachelier: одна волатильність для всіх страйків. Зелена крива — ті самі ціни опціонів, перевиражені в термінах Black-Scholes. «Скью» — це артефакт моделі, а не властивість ринку.

Що робить кожен параметр

• Нормальна волатильність: єдиний параметр. Вимірюється в абсолютних одиницях ціни на рік (не у відсотках). Нормальна волатильність 20 означає, що очікувана зміна ціни за рік становить $20 (одне стандартне відхилення). Усі страйки отримують однакову волатильність, тому усмішка пласка.
• Спот-ціна: не змінює усмішку Башельє (вона лишається пласкою). Проте суттєво впливає на еквівалентну усмішку BS. За нижчої спот-ціни та сама зміна в доларах означає більшу зміну у відсотках, тож імпліцитна волатильність BS зростає і з'являється видимий скью путів.

Чому з'являється "скью" BS

Що відбувається

Погляд Башельє

Погляд BS

Ціноутворення ATM опціону

Нормальна волатильність застосовується напряму

Логнормальна волатильність приблизно дорівнює normal_vol / spot

OTM пут (низький страйк)

Та сама волатильність, що й ATM

Вища IV, бо та сама зміна в $ = більша зміна в % за нижчої ціни

OTM колл (високий страйк)

Та сама волатильність, що й ATM

Нижча IV, бо та сама зміна в $ = менша зміна в % за вищої ціни

Зниження спот-ціни

Усмішка лишається пласкою

Уся крива зсувається вгору, крило путів стає крутішим

ℹ️

Бета в SABR визначає базову форму

Базова форма SABR (усмішка з вимкненою волатильністю волатильності) залежить від бети. Бета = 0: Башельє. Бета = 1: Блек-Шоулз. Бета визначає, де ви перебуваєте на спектрі між нормальною та логнормальною моделями.

Де використовується модель Башельє

Ринок

Чому Башельє

Одиниця нормальної волатильності

Свопціони на процентні ставки

Ставки в EUR, JPY, CHF стали відʼємними. BS ламається на нулі. Башельє ні.

б.п./рік (напр., 50 б.п.)

Опціони на спред

Спреди можуть бути відʼємними. Адитивна модель тут природна.

$/рік або б.п./рік

Опціони на CDS

Кредитні спреди природно моделювати як адитивні зміни.

б.п./рік

Крипто (нішеві продукти)

Опціони на ставку фінансування або на базис, де базовий актив може стати відʼємним.

%/рік (абсолютні)

⚠️

Не для спотових криптоопціонів

Спотові ціни криптоактивів додатні й демонструють ефект кредитного плеча (волатильність зростає, коли ціна падає). Тут природніша логнормальна модель (сімейство Блека-Шоулза). Башельє є правильним інструментом для ставок, спредів і всього, що може стати від'ємним.

Башельє проти Блека-Шоулза: коротке порівняння

Башельє

Блек-Шоулз

Динаміка ціни

Адитивна (нормальна)

Мультиплікативна (логнормальна)

Одиниця волатильності

$/рік (абсолютна)

%/рік (відносна)

Відʼємні ціни?

Так (за задумом)

Ні (логарифм відʼємного числа не визначений)

Форма усмішки

Пласка за визначенням

Пласка, лише якщо світ справді логнормальний

Параметри

1 (нормальна волатильність)

1 (логнормальна волатильність)

Перетворення

σ_n ≈ σ_BS × S (поблизу ATM)

σ_BS ≈ σ_n / S (поблизу ATM)

Застосування

Ставки, спреди, CDS

Акції, FX, спотова крипта

Формула перетворення

Поблизу ATM можна перетворювати одну волатильність на іншу:

$$\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

Акція за $100 з волатильністю BS 30$30 нормальної волатильності. Але це наближення перестає працювати далеко від ATM, і саме тому при перетворенні цін Башельє з'являється "усмішка" BS.

💡

Пласка усмішка за визначенням

Башельє розглядає зміни ціни як адитивні. Її усмішка пласка за визначенням. Скью, що з'являється після перетворення в терміни BS, є артефактом вибору моделі, а не властивістю ринку.

Інструмент дослідження рівнянь

Дослідник рівнянь

Спот (S)

$

Страйк (K)

$

Днів до експірації

днів

Безризикова ставка

%

Імпліцитна вол. (σ)

%

Ціна колла

$8300

Ціна пута

$7890

Δ колла

0.555

d₁

0.102

Вега

$114

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Чому Башельє дає пласку усмішку, а Блек-Шоулз ні?

Q: Якщо взяти ціни опціонів Башельє і перевести їх в імпліцитну волатильність BS, ви отримаєте скью путів. Звідки береться цей скью?

Q: Коли варто використовувати Башельє замість Блека-Шоулза для крипти?

Q: Який зв'язок між нормальною волатильністю та волатильністю BS поблизу ATM?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Розвиток математичної інтуїції

Вивчіть модель Башельє з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок починається з простої ментальної моделі, а потім пояснює нормальну волатильність, формулу ціноутворення і те, чому пласка нормальна усмішка може виглядати як скью після перекладу в терміни Блека-Шоулза.

---

Див. також:

• Блек-Шоулз: логнормальний відповідник
• Модель CEV: поєднує нормальну та логнормальну моделі через параметр бета
• Модель SABR: використовує бету для вибору позиції на спектрі між нормальною та логнормальною моделями
• Зміщена дифузія: ще один спосіб працювати з базовими активами поблизу нуля
• Імпліцитна волатильність: поняття, що залежить від обраної моделі
• Скью: як відрізнити артефакти моделі від властивостей ринку