Зміщена дифузія

Зміщена дифузія (також відома як зміщена логнормальна модель) бере модель Black-Scholes і зсуває цінову вісь. Замість того щоб моделювати форвардну ціну $F$ безпосередньо, ви моделюєте $F + d$ як логнормальну величину, де $d$ є зміщенням. Це створює скью без жодної стохастичної волатильності -- лише завдяки зсуву координат.

💡

Зсув координат створює скью

Відʼємне зміщення дозволяє базовому активу опускатися нижче нуля (корисно для процентних ставок). Додатне зміщення зсуває усмішку вправо. Зсув порушує симетрію Black-Scholes і створює скью. Рівень ATM залишається незмінним; опціони OTM переоцінюються.

Дослідіть параметри

Рухайте повзунок зміщення, щоб побачити, як зсув цінової осі створює асиметрію. Повзунок волатильності керує загальним рівнем. Пунктирна синя лінія показує незміщений випадок (Black-Scholes).

Дослідник зміщеної дифузії

Нульове зміщення. Чистий логнормальний розподіл — плоска усмішка, без скью.

Рівень волатильності40%

Базова волатильність зміщеного процесу

Зміщення (d)0

Від'ємне = допускає від'ємні ціни, Додатне = зміщення вправо

Пересуньте повзунок зміщення, щоб побачити, як зсув цінової осі створює скью. Пунктирна синя лінія показує незміщену усмішку для порівняння.

Що робить кожен параметр

• sigma (рівень волатильності): Імпліцитна волатильність, що застосовується до зміщеного форварда. Вища sigma = усе коштує дорожче.
• зміщення (d): Наскільки ви зсуваєте цінову вісь. Відʼємне d створює пут-скью (волатильність зростає, коли ціна падає). Додатне d створює помірний колл-скью. Нульове зміщення відповідає стандартній моделі Black-Scholes.

Переваги та обмеження

Перевага

Що це означає для вас

Підтримує негативні значення

За негативного зміщення модель допускає негативні ціни базового активу. Це було критично важливо, коли процентні ставки стали негативними.

Ціноутворення в замкненій формі

Це буквально Black-Scholes зі зміщеними вхідними даними. Кожна формула BS, кожна грецька -- все переноситься точно.

Два параметри

Рівень волатильності та зміщення. Просто калібрувати, важко перенавчити.

Обмеження

Що це означає для вас

Немає кривизни усмішки

Як і CEV, зміщена дифузія створює скью (нахил), але не усмішку (кривизну). Вона не може підігнати ринкову усмішку, що загинається вгору на обох крилах.

Лише лінійний скью

Скью, який вона створює, майже лінійний за страйками. Реальний ринковий скью має кривизну, особливо для короткострокових опціонів.

Зміщення довільне

Немає економічної причини для конкретного значення зміщення. Це параметр підгонки, а не модельне розуміння.

💡

Найкоротший шлях від Black-Scholes до скью

Зміщена дифузія є найшвидшим способом додати скью до Black-Scholes. Хороша відправна точка, але реальним ринкам потрібно більше параметрів. Для належного хеджування за дельтою та вегою по всій часовій структурі вам потрібна багатша модель.

Дослідник рівнянь

Перетворюйте між імпліцитною волатильністю, сукупною дисперсією, логарифмічною монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Що відʼємне зміщення робить з усмішкою волатильності?

Q: Чому зміщена дифузія була популярною на ринках процентних ставок приблизно у 2014-2016 роках?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Формування математичної інтуїції

Вивчіть зміщену дифузію з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок простою мовою пояснює прийом зі зсувом осі, показує, як параметр зміщення змінює усмішку, і повʼязує модель з інтуїцією Black-Scholes.

---

Див. також:

• Модель CEV -- Ще одна проста модель скью (степеневий каркас)
• Модель SABR -- Повноцінна модель стохастичної волатильності (каркас CEV + волатильність волатильності)
• Скью -- Чому усмішка нахиляється
• Методи інтерполяції -- Порівняння всіх моделей усмішки