Цю сторінку перекладено автоматично. Оригінал англійською мовою є канонічним. Читати англійською →
Перейти к основному содержимому

Модель Гестона

Модель Гестона є першою моделлю стохастичної волатильності з практично придатною формулою ціноутворення. Волатильність слідує процесу, який повертає її до довгострокового рівня (вона не відходить у нескінченність), і саме це ми спостерігаємо на ринках: волатильність різко зростає, а потім згасає. Модель відтворює скью та усмішку волатильності через кореляцію між рухами ціни і рухами волатильності, генеруючи повну поверхню волатильності з одного набору параметрів.

Для крипти модель Гестона вам не потрібна. Але кожна наступна модель стохастичної волатильності, SABR, rough Bergomi, стохастична локальна волатильність, є нащадком цієї ідеї. Розуміти модель Гестона означає розуміти ДНК сучасного моделювання імпліцитної волатильності.

💡
Концептуальний предок

Модель Гестона для стохастичної волатильності те саме, що Блек-Шоулз для ціноутворення опціонів: фундаментальна основа, яку все інше розширює або від якої відштовхується. Вам не обовʼязково використовувати її для крипти, але її потрібно розуміти, щоб осмислити моделі, якими ви користуєтеся.

Інтуїція параметрів​

Змінюйте кожен параметр, щоб побачити, як змінюється усмішка волатильності в моделі Гестона.

Дослідник усмішки Гестона

Типова усмішка для акцій. Сильний скью путів через від'ємне ρ, помірна волатильність волатильності.
21%33%45%758595ATM105115125СтрайкІмпліцитна волатильність (%)
κ (повернення до середнього)2.0
Швидкість повернення дисперсії до θ
θ (довгострокова дисперсія)0.040
Рівень довгострокової дисперсії. Приблизно дорівнює квадрату довгострокової ATM-волатильності
σ (вол волатильності)0.500
Контролює кривизну усмішки. 0 = плоска (BS).
ρ (кореляція спот-вол)-0.700
Від'ємна = скью путів (типово)
v₀ (початкова дисперсія)0.040
Поточна дисперсія. Співвідношення поточної та довгострокової задає нахил часової структури
IV ATM
20.0%
Нахил крила путів
+0.28%/strike
Нахил крила коллів
-0.13%/strike
Часова структура
Поточна = довгостроковій (плоска часова структура)

ρ контролює скью (нахил), σ — кривизну (ширину крил), κ/θ/v₀ — рівень волатильності та часову структуру.

Пʼять параметрів коротко:

Параметр
Що він контролює
Вплив на усмішку
kappa -- швидкість повернення до середнього
Як швидко волатильність повертається до свого довгострокового рівня
Високе kappa швидко вирівнює часову структуру
theta -- довгострокова дисперсія
Рівноважний рівень волатильності, до якого тяжіє процес
Задає загальний рівень довгострокових усмішок
sigma -- волатильність волатильності
Наскільки волатильним є сам процес волатильності
Вищий sigma піднімає обидва крила (товщі хвости)
rho -- кореляція спот-волатильність
Залежність між рухами ціни і рухами волатильності
Негативне rho робить ліве крило крутішим (пут-скью)
v0 -- початкова дисперсія
Де волатильність перебуває зараз
Різниця між v0 і theta нахиляє часову структуру

Як відчувається кожен параметр​

  • kappa (швидкість повернення до середнього): Як швидко волатильність повертається до норми. Високе kappa означає, що шоки волатильності швидко згасають, і часова структура вирівнюється. Низьке kappa означає, що режими волатильності зберігаються довго. У крипті kappa зазвичай низьке: режими волатильності стійкі.

  • theta (довгострокова дисперсія): Рівень волатильності, до якого процес тяжіє з часом. Квадратний корінь із theta приблизно дорівнює довгостроковій ATM волатильності. Для BTC це зазвичай 50-70% річних.

  • sigma (волатильність волатильності): Контролює ширину усмішки. Коли sigma = 0, усмішки немає. Зі зростанням sigma обидва крила піднімаються. Та сама ідея, що й nu у SABR. Високий sigma = товсті хвости = дорогі OTM крила.

  • rho (кореляція спот-волатильність): Контролює скью. Негативне rho означає, що волатильність зростає, коли базовий актив падає. У крипті rho зазвичай від -0,5 до -0,8. Чим негативніше, тим крутіший пут-скью. Це безпосередньо визначає поведінку дельта-хеджування.

  • v0 (початкова дисперсія): Де волатильність перебуває зараз. Якщо v0 вище theta, часова структура має спадний нахил (очікується згасання волатильності). Якщо v0 нижче theta, нахил висхідний. Після сплеску волатильності v0 >> theta, і часова структура інвертується.

ℹ️
Повернення до середнього відрізняє модель Гестона від SABR

Процес волатильності в моделі Гестона повертається до довгострокового рівня. У SABR цього немає, волатильність може дрейфувати нескінченно. Волатильність у моделі Гестона не може вибухнути до нескінченності. У SABR може, і саме тому SABR іноді дає нереалістичні довгострокові усмішки. Для хеджування веги повернення до середнього означає, що довгострокова вега-експозиція згасає передбачувано.

💡
Два параметри, дві експозиції за грецькими

rho відповідає за скью (і експозицію за ванною). sigma відповідає за кривизну усмішки (і експозицію за волгою). Ці два звʼязки становлять ядро моделі Гестона.

Переваги та обмеження​

Перевага
Що це означає для вас
Швидка формула ціноутворення
На відміну від більшості моделей стохастичної волатильності, опціони в моделі Гестона можна оцінити через один інтеграл. Тисячі цін за секунду.
Волатильність повертається до норми
Реалістична поведінка -- за сплесками волатильності йде повернення до середнього. Дає природну часову структуру.
Достатньо гнучка для скью та усмішки
rho керує скью, sigma керує кривизною. Цих 5 параметрів вистачає для більшості ліквідних ринків.
Величезна екосистема інструментів
Досліджується з 1993 року. Бібліотеки для кожної мови. Якщо ви зіткнулися з проблемою, хтось її вже вирішив.
Обмеження
Що це означає для вас
5 параметрів = нестабільне калібрування
Різні комбінації параметрів можуть давати схожі усмішки. Результати калібрування можуть стрибати з дня на день.
Калібрування примхливе
Кілька локальних мінімумів. Потрібні добрі початкові наближення та методи глобального пошуку.
Не відтворює короткострокові крипто-усмішки
Крипто-усмішки надто круті й широкі на коротких термінах. Модель Гестона надто гладка для динаміки волатильності в крипті.
Крила надто пласкі
Крила в моделі Гестона наближаються до сталого нахилу. Реальні крипто-усмішки часто мають крутіші крила на далеких OTM страйках.
⚠️
Не використовуйте модель Гестона для калібрування крипто-усмішок

Якщо ви будуєте поверхню волатильності для криптоопціонів, використовуйте SVI або SSVI. Калібрування пʼяти параметрів Гестона повільніше, менш стабільне і дає гірший результат, ніж спеціалізовані моделі усмішки. Модель Гестона є моделлю ціноутворення, а не інструментом калібрування усмішки. Її цінність концептуальна. Без додаткових обмежень ви не уникнете проблем з календарним арбітражем, тоді як SSVI гарантує поверхні без календарного арбітражу за побудовою.

Гестон vs. SABR​

Критерій
Гестон
SABR
Динаміка волатильності
Повертається до довгострокового рівня
Випадкове блукання (без повернення до середнього)
Вільні параметри
5
3 (з фіксованим beta)
Ціноутворення
Напівзамкнена формула (швидко)
Апроксимаційна формула (ще швидше)
Калібрування
Глобальна оптимізація, примхливе
Калібрування 2 параметрів, швидке і стабільне
Часова структура
Вбудована (повернення до середнього)
Лише для кожного зрізу окремо
Короткострокові усмішки
Надто гладкі
Краще (але все ще обмежено)
Найкраще для
Екзотика на акції, FX
Процентні ставки, ванільні FX-опціони
Використання в крипті
Рідко
Рідко (перевага за SVI)
💡
Компроміс між моделлю Гестона і SABR

Модель Гестона дає вбудовану узгодженість часової структури: кожен страйк повʼязаний з тим самим процесом дисперсії. Ціна цього: складніше калібрування і більше параметрів. SABR простіша і швидша.

Генеалогічне дерево​

Щоразу, коли ви бачите модель волатильності зі "стохастичною дисперсією" або "волатильністю з поверненням до середнього", перед вами нащадок моделі Гестона.

Модель
Що змінено порівняно з Гестоном
SABR
Замінила дисперсію з поверненням до середнього на волатильність як випадкове блукання. Простіше калібрування, зрозуміла інтуїція параметрів.
Bates
Додала стрибки до моделі Гестона. Товщі крила завдяки стрибковій компоненті.
Rough Bergomi
Замінила гладкі траєкторії дисперсії на шорсткі, рвані. Відповідає спостережуваній шорсткості волатильності.
Стохастична локальна волатильність (SLV)
Поєднала стохастичну дисперсію в стилі Гестона з локальною волатильністю. Точне калібрування плюс реалістична динаміка.

Дослідник рівнянь​

Перетворюйте між імпліцитною волатильністю, сукупною дисперсією, логарифмічною монейністю і цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
Імпліцитна волатильність
днів
Календарні дні до експірації
Загальна дисперсія (w)
0.022225
Річна дисперсія (σ²)
0.2704
IV (зворотний перерахунок)
52.00%
Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

Розвиток математичної інтуїції​

Вивчіть модель Гестона з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок пояснює модель Гестона як систему з двома двигунами: рухи спота і рухи дисперсії. Він розбирає пʼять параметрів, два рівняння і точну причину, чому негативне rho створює скью.

Дивіться також:

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Якщо kappa (швидкість повернення до середнього) дуже висока, що відбувається з часовою структурою імпліцитної волатильності?
Q: Чому модель Гестона погано підходить для безпосереднього калібрування крипто-усмішок волатильності?
Q: Який звʼязок між параметром rho моделі Гестона і грецькою ванною?
Q: Що дає модель Гестона, чого не дає SABR?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Останнє оновлення