Методи інтерполяції для поверхонь волатильності

інфо

Це супровідна сторінка до розділу Як будуються поверхні волатильності. Почніть звідти, щоб зрозуміти, чому інтерполяція важлива.

Поверхня волатильності має прогалини. Інтерполяція їх заповнює. Від вибору методу залежить, чи буде отримана поверхня гладкою, вільною від арбітражу і стабільною. На цій сторінці порівнюються основні підходи.

Порівняння методів інтерполяції

Білі точки це єдині реальні ринкові котирування. Все між ними оцінюється. Клікніть кожен метод, щоб побачити його сильні та слабкі сторони.

Що йде не так

Перш ніж розбирати кожен метод, подивіться на проблеми самі. Ті самі 7 ринкових спостережень, три різні методи інтерполяції. Зверніть увагу, що відбувається на крилах і в точках даних.

Що йде не так: збої інтерполяції

Ті самі 7 ринкових спостережень, три різні методи інтерполяції. Подивіться, що відбувається на крилах.

Гладкі поліноміальні криві. Можуть осцилювати та виходити за межі на крилах.

Білі точки — єдині реальні спостереження. Натисніть «Порівняти всі», щоб накласти всі три методи. Зверніть увагу, як сплайн дає викид на лівому крилі, тоді як SVI залишається в межах.

---

Непараметричні методи

Ці методи проводять криві через точки даних, не припускаючи певної функціональної форми. Вони швидкі та прості, але не дають жодних структурних гарантій.

Лінійна інтерполяція

Проведіть прямі лінії між сусідніми точками даних.

Переваги:

• Тривіальна реалізація
• Не потребує підгонки чи оптимізації
• Детермінованість: однакові вхідні дані завжди дають однаковий результат

Недоліки:

• Створює гострі кути в кожній точці даних. Ці кути дають розривні перші похідні, а отже грецькі коефіцієнти (особливо гамма) різко стрибають на спостережуваних страйках.
• Немає гарантії відсутності арбітражу метелика. Пряма лінія між двома точками може опуститися нижче, ніж мала б проходити опукла усмішка.
• Екстраполяція є чистою спекуляцією (просто продовжує нахил останнього сегмента).

Використовуйте для: швидких оцінок, перевірок на адекватність, налагодження. Не для продакшн-ціноутворення.

Інтерполяція кубічним сплайном

Підгонка кусково-кубічних поліномів між точками даних з обмеженням, щоб перша і друга похідні збігалися в кожному з'єднанні. Результатом є $C^2$-гладка крива (неперервна кривина).

Назва походить від фізичних креслярських сплайнів: гнучких дерев'яних смужок, які креслярі вигинали через шпильки, щоб малювати плавні криві.

Переваги:

• Гладка крива через усі точки даних
• Без оцінювання параметрів (сплайн визначається даними та граничними умовами)
• Швидке обчислення

Недоліки:

• Феномен Рунге: на краях області інтерполяції поліном може сильно виходити за межі. Для поверхонь волатильності це означає IV на крилах, які стрибають угору або стають від'ємними.
• Осциляція: між точками даних кубічна крива може відхилятися вище або нижче того, що дала б коректна усмішка, створюючи увігнуті провали (арбітраж метелика).
• Чутливість до викидів: одна погана точка даних (застаріла котировка, помилка введення) спотворює всю криву, бо обмеження гладкості поширюють помилку.
• Немає контролю над поведінкою екстраполяції.

Використовуйте для: візуалізації, академічної роботи або як початкове наближення перед параметричною підгонкою. Не для продакшн-ціноутворення чи оцінки ризику.

---

Параметричні методи

Ці методи припускають функціональну форму усмішки і підганяють її параметри під дані. Вони жертвують точною інтерполяцією заради структурного контролю.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Галузевий стандарт для поверхонь волатильності криптовалют та акцій. П'ять параметрів на кожен зріз експірації.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Повний довідник: Параметризація SVI

Чому він домінує: SVI є оптимальним балансом між гнучкістю та економністю. П'ять параметрів можуть описати майже будь-яку спостережувану форму усмішки, а прості обмеження-нерівності разом із недорогою перевіркою щільності виключають арбітраж метелика. Крила наближаються до лінійних асимптот, тож екстраполяція обмежена й обґрунтована.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Модель стохастичної волатильності, яка виводить усмішку з припущень про те, як змінюється волатильність. Чотири параметри: $\alpha$ (рівень волатильності), $\beta$ (показник CEV), $\rho$ (кореляція спот-волатильність), $\nu$ (волатильність волатильності).

Повний довідник: Модель SABR

Навіщо вона існує: SABR описує динаміку усмішки, а не лише статичну форму. Вона показує, як має рухатися усмішка, коли рухається базовий актив (за замовчуванням sticky delta). Це робить її природним вибором для процентних свопціонів, де динаміка усмішки важлива для хеджування.

Локальна волатильність (Дюпір)

Це не метод підгонки у звичному сенсі. Локальна волатильність виводить поверхню миттєвої волатильності зі спостережуваної поверхні імпліцитної волатильності. Вона відповідає на питання: «Якою має бути миттєва волатильність у кожній комбінації (спот, час), щоб точно відтворити ці ціни опціонів?»

Повний довідник: Локальна волатильність

Навіщо вона існує: локальна волатильність є єдиною безарбітражною моделлю, яка точно відповідає всім спостережуваним цінам опціонів. Це міст між імпліцитною волатильністю та механізмом ціноутворення, здатним обробляти виплати, залежні від траєкторії.

SSVI (Surface SVI)

Розширення SVI, яке моделює всю поверхню спільно, а не зріз за зрізом. SSVI за побудовою гарантує відсутність календарного арбітражу: сукупна дисперсія гарантовано зростає зі строком на кожному страйку.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Де $\theta_t$ це сукупна дисперсія ATM у момент $t$, а $\varphi(\theta_t)$ керує тим, як скью змінюється зі строком.

Компроміс: менше вільних параметрів, ніж у SVI по зрізах (форма усмішки пов'язана між експіраціями), тож підгонка на окремих зрізах може бути трохи гіршою. Зате вам ніколи не потрібні постфактум-виправлення календарного арбітражу.

---

Порівняльна таблиця

Метод

Параметри

Без арбітражу?

Екстраполяція

Швидкість

Найкраще для

Лінійна

0

Ні

Необмежена

Миттєво

Налагодження

Кубічний сплайн

~12 (неявно)

Ні

Осцилює

Швидко

Візуалізація

SVI

5 на зріз

Так (з обмеженнями)

Обмежена лінійна

Швидко

Крипто / акції

SABR

4

Здебільшого

Прийнятна

Середня

Ставки / свопціони

Локальна волатильність

Повна сітка

За побудовою

Н/Д (виводиться)

Повільно

Ціноутворення екзотики

SSVI

~6 (поверхня)

Так (і календарний)

Обмежена

Швидко

Узгодженість усієї поверхні

Як обрати

• Для продакшн-ціноутворення крипто/акцій: SVI або SSVI. Галузь зупинилася на них не випадково.
• Для процентних опціонів: SABR. Він описує динаміку усмішки, яка важлива для хеджування свопціонів.
• Для ціноутворення екзотичних деривативів: локальна волатильність (або гібрид стохастичної локальної волатильності). Вам потрібна вся поверхня, а не лише зрізи.
• Для швидкого аналізу чи візуалізації: кубічний сплайн підходить, поки ви не торгуєте за ним.
• Ні для чого: лінійна інтерполяція в продакшні. Серйозно.

---

Дослідник рівнянь

Усі методи інтерполяції працюють із сукупною дисперсією та лог-монейністю. Використовуйте цей калькулятор для переходу між представленнями.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Див. також:

• Як будуються поверхні волатильності - Повний конвеєр
• Параметризація SVI - Детально про SVI
• Модель SABR - Детально про SABR
• Локальна волатильність - Детально про модель Дюпіра