Модель стрибкової дифузії Коу з подвійним експоненційним розподілом

Мертон моделює стрибки одним нормальним розподілом -- стрибки вгору і вниз мають однакову форму. Це хибно. Обвали різкіші за ралі. Геп на -20% стається за хвилини, а ралі на +20% триває тижнями. Коу (2002) виправляє це, надаючи стрибкам угору і вниз різні розміри.

Механізм: експоненційні розподіли замість нормального. Стрибки вниз отримують один експоненційний розподіл (зазвичай із більшим середнім), стрибки вгору отримують інший (зазвичай із меншим середнім). Крило путів можна зробити крутішим, не зачіпаючи крило коллів, і навпаки.

💡

Кожне крило має власний параметр

У моделі Мертона збільшення крутизни крила путів (через від'ємний середній стрибок) також впливає на крило коллів. У моделі Коу кожне крило незалежне. Розмір стрибка вниз робить крутішим крило путів. Розмір стрибка вгору робить крутішим крило коллів. Це відповідає усмішкам на криптоопціонах.

Дослідіть параметри

Увімкніть "Show Merton equiv", щоб побачити, як симетрична модель (Мертона) порівнюється з асиметричними крилами Коу. Спробуйте пресет "Crypto crashes", щоб побачити круте крило путів із пологим крилом коллів.

Дослідник подвійно-експоненційної усмішки Коу

Домінують стрибки вниз: 70% стрибків спрямовані вниз і в 4x більші за стрибки вгору. Круте крило путів.

Частота стрибків2.00

Очікувана кількість стрибків на рік. 0 = плоска (BS).

Ймовірність стрибка вгору0.30

Частка стрибків угору. Низька = ухил до крахів.

Розмір стрибка вгору0.05

Середня величина стрибка вгору (напр. 0.08 = 8%)

Розмір стрибка вниз0.20

Середня величина стрибка вниз (напр. 0.15 = 15%)

Увімкніть «Показати еквівалент Мертона», щоб порівняти асиметричні (Коу) та симетричні (Мертон) стрибки. Зверніть увагу, як Коу може незалежно робити крутішим одне крило.

Що робить кожен параметр

• Частота стрибків (lambda): скільки стрибків на рік. Нуль = Блек-Шоулз (пласка усмішка). Вища lambda піднімає обидва крила, бо будь-який стрибок -- угору чи вниз -- робить опціони OTM ціннішими.
• Імовірність стрибка вгору (p): яка частка стрибків іде вгору. Низьке p означає, що більшість стрибків є обвалами. Це зміщує баланс скью.
• Розмір стрибка вгору: середня величина гепів угору. Більший розмір = крутіше крило коллів.
• Розмір стрибка вниз: середня величина гепів униз. Більший розмір = крутіше крило путів. На криптоактивах він зазвичай у 2-4 рази більший за розмір стрибка вгору.

Як Коу формує крила

Зміна параметра

Вплив на крило путів

Вплив на крило коллів

Інтуїція

Збільшити розмір стрибка вниз

Стає крутішим

Мінімальна зміна

Більші обвали = дорожчий захист путами

Збільшити розмір стрибка вгору

Мінімальна зміна

Стає крутішим

Більші ралі = дорожче крило коллів

Зменшити ймовірність стрибка вгору

Стає крутішим

Стає пологішим

Більше стрибків униз = упередженість до обвалів

Збільшити частоту стрибків

Піднімається

Піднімається

Більше подій загалом = більший хвостовий ризик в обох напрямках

ℹ️

Незалежне керування крилами

У моделі Мертона збільшення крутизни крила путів через від'ємний середній стрибок також впливає на крило коллів (нормальний розподіл симетричний відносно середнього). У моделі Коу розмір стрибка вниз керує крилом путів, а розмір стрибка вгору керує крилом коллів. Увімкніть "Show Merton equiv", щоб побачити різницю.

Коу проти Мертона

Коу

Мертон

Розподіл стрибків

Подвійний експоненційний (асиметричний)

Нормальний (симетричний відносно середнього)

Незалежність крил

Крила путів і коллів керуються окремо

Зміна скью впливає на обидва крила

Загасання хвостів

Експоненційні хвости (важчі за нормальні)

Гаусові хвости (тонші)

Параметри

5 (σ, λ, p, η₁, η₂)

4 (σ, λ, μ_J, σ_J)

Ціноутворення бар'єрних/lookback-опціонів

Є розв'язок у замкненій формі

Немає розв'язку в замкненій формі (потрібен MC)

Відповідність криптоактивам

Краща (асиметричні крила відповідають реальності)

Прийнятна (але важко забезпечити незалежність крил)

Чому це важливо для криптотрейдерів

Геповий ризик на криптоактивах глибоко асиметричний:

Тип події

Типовий розмір

Швидкість

Параметр Коу

Каскад ліквідацій

від -10% до -30%

Хвилини

Розмір стрибка вниз (великий)

Геп через збій біржі

У будь-якому напрямку, від -20% до +10%

Миттєво

Обидва розміри стрибків + імовірність

Ралі на схваленні ETF

від +5% до +15%

Години

Розмір стрибка вгору (помірний)

Депег стейблкоїна

від -5% до -50%

Блоки

Розмір стрибка вниз (дуже великий)

Зверніть увагу на закономірність: рухи вниз швидші та більші за рухи вгору. Мертон не може чисто відобразити цю асиметрію -- можна зсунути середнє у від'ємний бік, але симетрія нормального розподілу відносно цього середнього все одно перетікає в крило коллів. Подвійний експоненційний розподіл Коу природно розділяє ці два боки.

💡

Стрибкова модель для незалежного калібрування крил

Коу розділяє крила путів і коллів. Розмір стрибка вниз є параметром обвалу. Розмір стрибка вгору є параметром ралі. Вони не заважають один одному. Якщо ви торгуєте OTM путами і коллами як окремими книгами -- а на криптоактивах так і варто робити -- модель Коу відповідає такій структурі.

Дослідник рівнянь

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: У чому ключова перевага Коу над Мертоном під час калібрування усмішок волатильності?

Q: Чому експоненційні хвости реалістичніші за гаусові для розмірів стрибків на криптоактивах?

Q: Якщо збільшити розмір стрибка вниз з 10% до 25%, що станеться з крилом коллів?

Q: Яку практичну перевагу має Коу над Мертоном для ціноутворення екзотичних опціонів?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Формування математичної інтуїції

Вивчіть модель Коу з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок пояснює модель як окремі механізми стрибків угору та вниз, а потім розбирає інтуїцію подвійного експоненційного розподілу і те, чому він дає чистіше керування крилами, ніж модель Мертона.

---

Див. також:

• Стрибкова дифузія Мертона -- попередниця із симетричними стрибками
• Модель Бейтса -- поєднує стохастичну волатильність зі стрибками Мертона
• Variance Gamma -- чисто стрибкова модель без дифузії
• Модель Гестона -- стохастична волатильність (інший спосіб отримати усмішку)
• Скью -- чому усмішка нахилена
• Блек-Шоулз -- базова модель без стрибків
• Методи інтерполяції -- порівняння всіх методів