Локальна волатильність

інфо

На цій сторінці розглядається модель локальної волатильності Дюпіра. Про те, яке місце вона займає в процесі побудови поверхні волатильності, див. Як будуються поверхні. Порівняння з іншими методами див. у розділі Методи інтерполяції.

Локальна волатильність це миттєва волатильність базового активу на конкретному ціновому рівні в конкретний момент часу. Це функція $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$, яка, будучи підставленою в дифузійну модель, точно відтворює всі спостережувані ціни європейських опціонів.

Ідею незалежно розробили Бруно Дюпір (1994) та Дерман і Кані (1994). Це єдина модель, яка відповідає повній поверхні імпліцитної волатильності без жодних додаткових припущень.

Імпліцитна волатильність і локальна волатильність

Ключова ідея: імпліцитна волатильність є змішаним середнім локальних волатильностей уздовж шляху до експірації. Локальна волатильність це миттєва, «поточкова» волатильність.

Імпліцитна волатильність vs локальна волатильність

Типова усмішка для акцій/крипто. Локальна волатильність вища і гостріша за імпліцитну.

Локальна волатильність (суцільна лінія) завжди гостріша за імпліцитну (пунктирна). Імпліцитна волатильність — це зважене середнє локальних волатильностей уздовж траєкторії.

Перемикайте форми смайлу й зверніть увагу:

• Локальна волатильність завжди має гостріший пік. Оскільки імпліцитна волатильність усереднюється за шляхом, вона згладжує крайні значення. Локальна волатильність показує сиру, неусереднену картину.
• Крутіший імпліцитний скью = різкіша локальна волатильність. У випадку крутого скью (криза) локальна волатильність різко зростає в лівому крилі. Модель фактично каже: «Якщо спот впаде так низько, миттєва волатильність має бути дуже високою, щоб відповідати спостережуваним цінам пут-опціонів».
• Цей зв'язок подібний до співвідношення спот-ставок і форвардних ставок. Імпліцитна волатильність це спот-ставка (середнє від сьогодні до погашення). Локальна волатильність це форвардна ставка (миттєва ставка в майбутній момент часу).

Що означає локальна волатильність

Уявіть, що ціна базового активу рухається ландшафтом волатильностей. У кожній точці простору (ціна, час) є конкретна волатильність. Блукаючи, базовий актив проходить через різні миттєві волатильності.

30-денний опціон на грошах (ATM) з імпліцитною волатильністю 50% може пройти вздовж свого шляху через локальні волатильності від 40% до 65%. Імпліцитна волатильність 50% є ризик-нейтральним середнім усіх цих локальних волатильностей, зваженим за часом перебування на кожному рівні.

Саме тому два опціони з різними страйками можуть мати різну імпліцитну волатильність, хоча вони залежать від одного й того самого базового процесу: вони проходять через різні ділянки ландшафту локальної волатильності.

Коли використовувати локальну волатильність

Ціноутворення екзотичних опціонів

Основний сценарій застосування локальної волатильності. Порядок роботи:

1. Спостерігайте ринкові ціни європейських опціонів (або імпліцитні волатильності)
2. Побудуйте безарбітражну поверхню імпліцитної волатильності (за допомогою SVI, SSVI або подібних моделей)
3. Виведіть поверхню локальної волатильності за формулою Дюпіра
4. Побудуйте чисельний механізм ціноутворення (скінченно-різницеве розв'язання PDE або Монте-Карло) на основі поверхні локальної волатильності
5. Оцініть екзотичний опціон, моделюючи рух базового активу ландшафтом локальної волатильності

Гарантія: будь-який екзотичний опціон, оцінений за моделлю локальної волатильності, узгоджується з усіма спостережуваними цінами європейських опціонів. Ціна вашого бар'єрного опціону не суперечить ванільним опціонам, що важливо для хеджування.

Грецькі коефіцієнти, узгоджені з поверхнею

Грецькі коефіцієнти, обчислені за моделлю локальної волатильності, враховують те, що волатильність змінюється разом із рухом спота. Дельта за локальної волатильності відрізняється від дельти Блека-Шоулза, оскільки модель «знає», що перехід на інший рівень спота означає іншу локальну волатильність. Концептуально це подібно до того, що Талеб називає «тіньовою гаммою»: додаткова зміна дельти, яка виникає через зміну волатильності внаслідок руху спота.

Проблема динаміки

Локальна волатильність має одну добре відому слабкість: вона прогнозує неправильну динаміку смайлу.

За моделлю локальної волатильності волатильність є детермінованою функцією спота. Знаючи, де перебуває спот, ви точно знаєте, якою є волатильність. У волатильності немає «несподіванок». Це означає:

• Коли спот падає, локальна волатильність стверджує, що за цієї ціни волатильність завжди мала бути такою високою. Смайл сплощується.
• На практиці, коли спот падає, волатильність часто зростає сильніше, ніж прогнозує локальна волатильність, і смайл стає крутішим.

Результат: локальна волатильність систематично занижує ціну опціонів, які залежать від майбутньої форми смайлу (бар'єрні опціони, опціони з відкладеним стартом, кліке).

Локальна волатильність та інші моделі

	Локальна волатильність	SVI	SABR
Що це	Миттєва волатильність у кожній точці (S, t)	Параметрична форма смайлу	Модель стохастичної волатильності
Спостережувана?	Ні (виводиться)	Ні (підганяється)	Ні (підганяється)
Точне калібрування	Так (за побудовою)	Наближене	Наближене
Динаміка смайлу	Неправильна (детермінована)	Не визначена	Краща (стохастична)
Ціноутворення екзотики	Так (основне застосування)	Ні	Обмежене
Швидкість	Повільна (PDE/MC)	Швидка	Швидка (формула)
Найкраще для	Бар'єрні, азійські, екзотичні опціони	Ціноутворення ванільних опціонів, ризик	Свопціони, ванільні FX-опціони

Зв'язок з іншими моделями

Від імпліцитної волатильності до локальної: формула Дюпіра. Потребує безарбітражної імпліцитної поверхні на вході.

Від локальної волатильності до імпліцитної: розв'яжіть пряме PDE на поверхні локальної волатильності, оцініть європейські опціони, оберніть ціни, щоб отримати імпліцитні волатильності. За побудовою це дає точний зворотний результат.

SABR і локальна волатильність: параметр $\beta$ у SABR керує базовою кривою локальної волатильності (абсолютна волатильність $\sim F^\beta$, тож відсоткова волатильність $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$), тоді як $\nu$ додає стохастичний шар зверху. SABR можна розглядати як параметричне наближення локальної волатильності з додатковою динамікою.

SVI і локальна волатильність: SVI дає вам імпліцитну поверхню. Потім формула Дюпіра дає локальну волатильність. Ланцюжок: ринкові котирування -> підгонка SVI -> імпліцитна поверхня -> Дюпір -> локальна волатильність -> механізм ціноутворення екзотики.

Розвиток математичної інтуїції

Вивчіть локальну волатильність з нуляІнтерактивний урок · охоплює формулу Dupire

Інтерактивний урок вище пояснює модель локальної волатильності Дюпіра з перших принципів: чому імпліцитна волатильність є зваженим за шляхом середнім локальних волатильностей, як формула Дюпіра виводить локальну волатильність зі спостережуваних цін, який зв'язок між смайлом імпліцитної волатильності та поверхнею локальної волатильності і чому локальна волатильність важлива для ціноутворення екзотичних опціонів, залежних від шляху.

Реалізації з відкритим кодом

Репозиторій	Чому варто переглянути
QuantLib	Локальна волатильність Дюпіра з механізмом ціноутворення на скінченних різницях
OpenGamma Strata	Побудова поверхні локальної волатильності з ринкових даних
RustQuant	Ціноутворення за локальною волатильністю на Rust

---

Див. також:

• Параметризація SVI - Модель, що використовується для побудови імпліцитної поверхні
• Модель SABR - Альтернатива зі стохастичною волатильністю
• Методи інтерполяції - Порівняння всіх методів
• Як будуються поверхні - Повний процес