Як будуються поверхні волатильності

На ринку ви не бачите безперервної поверхні. Ви бачите розрізнені котирування на кількох страйках і датах експірації. «Поверхню» будують так: перетворюють ці котирування на імпліцитну волатильність, заповнюють прогалини та застосовують правила узгодженості, щоб ніхто не міг отримати безкоштовні гроші.

Ця сторінка проводить вас через увесь процес: на вході сирі котирування, на виході гладка поверхня.

Крок 1: Почніть із розрізнених котирувань

Опціонні ринки не котирують кожен можливий страйк і кожну експірацію. Для будь-якого інструменту ви можете побачити котирування лише для 15-20 комбінацій із сотень можливих точок сітки. Більша частина поверхні порожня.

Від котирувань до поверхні

Доларові ціни з книги заявок. Більшість клітинок порожні.(67% покриття, 8 прогалин)

Страйк	7d	14d	30d	60d
$85k	$120	$340	--	--
$90k	$450	$820	$1,400	--
$95k	$1,200	--	$2,800	$4,200
$100kATM	$3,500	$4,800	$6,200	--
$105k	$1,800	$3,100	--	$5,800
$110k	$650	--	$2,100	--

Є котирування

Немає котирування

Перегляньте три кроки вище. Зверніть увагу, що в Raw Quotes більшість клітинок порожні. У Extract IV ми інвертуємо кожну ціну через модель Блека-Шоулза, щоб отримати імпліцитну волатильність, але ті самі прогалини залишаються. Лише після Interpolate заповнюється кожна клітинка, причому клітинки з позначкою «SVI» на ринку не спостерігалися.

У цьому й полягає головне завдання: перетворити розрізнені, зашумлені спостереження на щось гладке та внутрішньо узгоджене. Розгляньмо, як працює кожен крок.

Крок 2: Перетворіть ціни на IV

Кожну котировану ціну опціону потрібно перетворити на імпліцитну волатильність: таке $\sigma$, за якого модель Блека-Шоулза збігається з ринковою ціною.

Аналітичного розв'язку немає. Ми розв'язуємо чисельно: пробуємо значення волатильності, обчислюємо ціну за BS, перевіряємо збіг і звужуємо діапазон. Простежте, як розв'язувач крок за кроком збігається:

Пошук кореня IV: спостерігайте за збіжністю солвера

Солвер звужує діапазон можливих волатильностей, доки ціна BS не збігатиметься з ринковою ціною.

Spot Strike DTE Market Price

Крок	Спроба σ	Ціна BS	проти цілі	Діапазон
1	150.50%	$11278	> занадто високо	[1.0%, 300.0%]
2	75.75%	$5825	> занадто високо	[1.0%, 150.5%]
3	38.38%	$2995	< занадто низько	[1.0%, 75.8%]
4	57.06%	$4421	> занадто високо	[38.4%, 75.8%]
5	47.72%	$3711	> занадто високо	[38.4%, 57.1%]
6	43.05%	$3354	< занадто низько	[38.4%, 47.7%]
7	45.38%	$3533	> занадто високо	[43.0%, 47.7%]
8	44.21%	$3444	< занадто низько	[43.0%, 45.4%]
9	44.80%	$3488	< занадто низько	[44.2%, 45.4%]
10	45.09%	$3511	> занадто високо	[44.8%, 45.4%]
11	44.94%	$3499	= збіг	[44.8%, 45.1%]

Розв'язано за 11 кроків: IV = 44.94%

Жовта лінія — це ринкова ціна. Кожне припущення (точка) обчислює BS за цієї волатильності. Затінена область показує звуження діапазону пошуку з кожним кроком.

Змінюйте вхідні дані, щоб побачити поведінку розв'язувача за різних страйків (OTM порівняно з ATM), строків і цін. Зверніть увагу, як діапазон пошуку (затінена область) зменшується вдвічі на кожному кроці. Більшість продакшн-систем використовують метод Брента (гарантована збіжність) або раціональну апроксимацію Єкеля (машинна точність за один крок).

Після інвертування кожної котированої ціни ми маємо розріджену сітку значень IV. Але ці значення не сталі за страйками. Перш ніж заповнювати прогалини, потрібно зрозуміти, яких форм природно набуває крива IV.

Крок 3: Зрозумійте форми

Якби світ ідеально відповідав моделі Блека-Шоулза (логнормальні дохідності, стала волатильність), імпліцитна волатильність була б однаковою на кожному страйку. Але це не так. Розбіжність говорить вам про щось реальне на ринку, і розуміння цих форм є необхідним для вибору правильної інтерполяції.

Чому IV залежить від страйку

Волатильність випадкова. Модель Блека-Шоулза вважає її сталою. Коли сама волатильність коливається, OTM опціони стають ціннішими, ніж передбачає Блек-Шоулз. OTM опціон виграє від змін волатильності асиметрично: якщо волатильність зростає, опціон наближається до грошей і швидко дорожчає; якщо падає, опціон і так майже нічого не вартий і втрачає небагато. Ця опуклість означає, що OTM опціони коштують більше, коли волатильність невизначена, і це проявляється як підвищена IV на крилах. Що сильніше коливається волатильність (вища «волатильність волатильності»), то ширша усмішка.

Спот і волатильність рухаються разом. Сама по собі усмішка була б симетричною. Скью виникає тому, що на більшості ринків, коли ціни падають, волатильність зростає. Трейдери кажуть: «вгору ескалатором, вниз жолобом». OTM пути (які дають виплату під час обвалу) коштують більше, ніж вважає Блек-Шоулз, бо обвал супроводжуватиметься стрибком волатильності, що робить їх ще ціннішими. OTM колли коштують менше, бо ралі зазвичай стискають волатильність. Результатом є пут-ухмилка: ліве крило торгується з вищою IV, ніж праве. Докладніше про форми усмішки див. урок курсу волатильності про усмішку й ухмилку.

Чотири форми, які ви побачите

Форми смайлу та скосу

Ліве крило підвищено, праве крило низьке

Коли ви це бачите: Найпоширеніша. Страх краху домінує. Попит на хеджування підвищує OTM пути.

25d Ризик-реверсал

+14

Батерфлай

3.0

Перегляньте кожну форму. 25-дельтовий ризик-реверсал (внизу ліворуч) вимірює нахил: додатне значення означає, що пути дорожчі, від'ємне означає, що дорожчі колли. Метелик (внизу праворуч) вимірює кривизну незалежно від напрямку.

Skew Visualization

25d Risk Reversal: +20.0%

Сила скею: Путовий скей

Колловий скейПлоскийПутовий скей

Перетягніть повзунок, щоб побачити, як скей змінює криву IV через страйки. Путовий скей (позитивний RR) нормальний; колловий скей рідкісний.

Перетягніть повзунок, щоб побачити, як сила скью змінює криву. Ризик-реверсал близько нуля (пласка крива) означає, що ринок не має сильного напрямкового упередження.

Як IV змінюється з часом

Поверхня має другий вимір: часову структуру волатильності.

Термінна структура

Backwardation: Ближня IV > далека. Сигналізує про ризик події.

Перемикайте між формами, щоб побачити, як змінюється термінна структура. Беквордація часто сигналізує про майбутню подію.

Форма	Значення	Коли ви її бачите
Контанго	Довгострокова IV > короткострокова	Спокійні ринки. Очікується повернення волатильності до середнього вгору.
Пласка	Подібна IV на всіх строках	Немає чіткого погляду на строки.
Беквордація	Короткострокова IV > довгострокова	Ризик найближчої події. Щось конкретне підштовхує волатильність найближчого місяця.

Беквордація є ключовим сигналом. Коли короткострокова волатильність злітає вище за довгострокову, ринок закладає в ціну конкретний найближчий каталізатор. Після події часова структура зазвичай швидко повертається до контанго. Див. режими волатильності, щоб дізнатися, як уся поверхня зміщується за різних ринкових умов.

Часова структура також містить форвардну волатильність: очікування ринку щодо волатильності між двома майбутніми датами. Якщо 30-денна IV становить 52%, а 90-денна IV становить 48%, імпліцитна форвардна волатильність із 30-го по 90-й день дорівнює:

$$\sigma_{30 \to 90} = \sqrt{ \frac{ 0.48^2 \times 90 - 0.52^2 \times 30 }{ 60 } } \approx 45.5\%$$

Це значно нижче за будь-яку зі спотових волатильностей. Ринок каже: «Наступні 30 днів будуть бурхливими, але потім усе заспокоїться». Спробуйте обчислити форвардну волатильність з іншими вхідними даними в Equation Explorer (виберіть вкладку «Forward Vol»). Якщо форвардна дисперсія стає від'ємною, це сигналізує про календарний арбітраж.

Тепер, коли ми розуміємо, яких форм має набувати поверхня, можна розумно заповнити прогалини.

Крок 4: Заповніть прогалини

Ми маємо розрізнені спостереження IV і знаємо, яких форм вони мають набувати. Завдання: заповнити кожну порожню клітинку, зберігаючи поверхню гладкою, стабільною та вільною від арбітражу.

Порівняння методів інтерполяції

Білі точки це єдині реальні ринкові котирування. Все між ними оцінюється. Клікніть кожен метод, щоб побачити його сильні та слабкі сторони.

Білі точки є єдиними реальними ринковими спостереженнями. Усе між ними є оцінкою. Натисніть на кожен метод, щоб побачити його сильні та слабкі сторони.

Два правила інтерполяції

Нассім Талеб формулює це двома принципами:

1. Усуньте зазубреність. Лінійна інтерполяція створює гострі кути. Не можна очікувати, що ринок матиме розривні стрибки імпліцитної волатильності між сусідніми страйками. Згладжуйте кути.

2. Пристосовуйтеся до ринку. Якщо ринок використовує певну конвенцію інтерполяції, ваш механізм ціноутворення має їй відповідати. Ваш ризик-менеджмент може використовувати будь-який метод, який ви вважаєте найточнішим, але ваші котирування мають узгоджуватися з ринковою конвенцією, інакше ви зіткнетеся з несприятливим відбором.

Що може піти не так

Арбітраж. Якщо колл зі страйком $97k оцінено занадто дешево відносно $95k і $100k, трейдер може купити $97k і продати комбінацію двох інших, отримавши безризиковий прибуток (арбітраж метелика). Якщо поверхня передбачає, що загальна дисперсія зменшується зі строком, існує календарний арбітраж.

Безглузді грецькі. Увігнуті западини в усмішці дають від'ємну гамму для довгих опціонів (що неможливо) або від'ємну локальну дисперсію (що ламає ціноутворення екзотичних опціонів).

Нестабільне ціноутворення. Якщо зміна одного ринкового котирування спричиняє великі зміни інтерпольованих значень далеко від нього, поверхня зашумлена. Хеджування тоді визначається артефактами моделі, а не рухами ринку.

Методи коротко

Метод	Одним реченням	Підходить для
Лінійний	Прямі лінії між точками	Лише швидкі оцінки
Кубічний сплайн	Гладкі поліноміальні криві	Візуалізація (не продакшн)
SVI	5-параметрична модель для кожної експірації	Криптовалютні опціони та опціони на акції
ORC Wing	Зручна для трейдерів репараметризація SVI	Ручне редагування усмішки
SABR	4-параметрична модель стохастичної волатильності	Свопціони на процентні ставки
Local Vol	Виведення миттєвої волатильності за Дюпіром	Ціноутворення екзотичних опціонів

Більшість деск волатильності використовують SVI, бо вона проста (5 параметрів), швидка (калібрується за мілісекунди) і може бути обмежена для запобігання арбітражу. Hypercall бере поверхню кожного базового активу з налаштованого для нього джерела волатильності. Детальне порівняння всіх методів див. у Методах інтерполяції.

Крок 5: Перевірте узгодженість

Незалежна калібровка кожної експірації може дати внутрішньо неузгоджену поверхню. Перед публікацією поверхні мають виконуватися три обмеження.

Календарний арбітраж

Загальна дисперсія має зростати зі строком на кожному страйку. Якщо це не так, ви могли б продати короткостроковий стредл і купити довгостроковий на тому самому страйку, отримавши більше премії, ніж сплатили. Безкоштовні гроші.

$$\sigma(K, T_1)^2 \times T_1 \leq \sigma(K, T_2)^2 \times T_2 \quad \text{для всіх } K \text{, коли } T_1 < T_2$$

Перевірка календарного арбітражу

Загальна дисперсія (σ² × T) має зростати зі строком до експірації на кожному страйку.

Загальна дисперсія зростає зі строком на кожному страйку. Календарного арбітражу немає.

Перемикайте стани. Коли загальна дисперсія 30д опускається нижче 7д, продаж стредла 7д і купівля стредла 30д дали б безризиковий прибуток.

Перемикайтеся між станами: Consistent (кожна крива лежить вище за попередню), Violation (крива 30d опускається нижче за 7d поблизу ATM) і After Fix (параметри скориговано так, щоб обмеження виконувалося).

Арбітраж метелика

Ціни коллів мають бути опуклими за страйком. Якщо усмішка має увігнуту западину (локальну впадину), спред-метелик із центром у цій западині дає безризиковий прибуток.

Монотонність колл-спреду

Ціни коллів мають спадати зі страйком, а швидкість спадання має залишатися між 0 і 1. Вищий страйк означає вищий бар'єр, тож колл завжди має коштувати менше.

Результат: повна поверхня

Після всіх п'яти кроків (інвертування цін, розуміння форм, заповнення прогалин, забезпечення узгодженості) ми отримуємо гладку, безперервну поверхню волатильності. Ось вона:

Поверхня волатільності

Спокійні ринки. Слабкий пут-скос, легке контанго.

Експірація:

Страйк	7d	14d	30d	60d	90d
$80k	51%	52%	53%	55%	57%
$85k	50%	51%	52%	54%	56%
$90k	50%	50%	51%	54%	56%
$95k	49%	49%	51%	53%	55%
$100k(ATM)	48%	49%	50%	52%	55%
$105k	48%	49%	50%	53%	55%
$110k	49%	49%	50%	53%	55%
$115k	49%	49%	51%	53%	55%
$120k	49%	50%	51%	53%	55%

<45%

45-55%

55-65%

65-80%

80-100%

>100%

Клікніть заголовки експірації для виділення зрізу скею. Клікніть страйки для перегляду термінної структури.

У 3D-поданні перетягуйте, щоб обертати, і прокручуйте, щоб масштабувати. Перемикайте сценарії, щоб побачити, як різні ринкові умови змінюють поверхню. У 2D-поданні натисніть на заголовок експірації, щоб виділити зріз скью, або на страйк, щоб побачити його часову структуру.

Чотири сценарії показують, наскільки сильно змінюється поверхня:

• Normal: помірний пут-скью, легке контанго. Стан за замовчуванням.
• Pre-Event: короткострокова волатильність вибухає. Обидва крила підвищуються, бо напрямок невизначений.
• Crisis: усе підвищене. Екстремальний пут-скью. Крута беквордація.
• Euphoria: з'являється колл-скью. На OTM колли з'являється попит. Рідкісне явище.

Як рухається поверхня

Поверхня не є статичним об'єктом. Вона постійно змінює форму, і розуміння того, як вона рухається, важливе для хеджування.

Паралельний зсув: уся поверхня піднімається або опускається. ATM волатильність зростає на 3 пункти, і приблизно кожна клітинка зсувається на схожу величину. Це найбільше джерело P&L для позицій з експозицією на вегу.

Обертання: передня частина рухається в один бік, а задня в інший. Саме тому не можна просто додати веги 1-місячного та 1-річного опціонів. Позиція з вегою $100k у 7-денних опціонах значно більш вразлива, ніж $100k веги в 6-місячних опціонах, бо короткострокова волатильність реагує сильніше.

Зміна форми: усмішка стає крутішою, крила розширюються або скью нахиляється сильніше. Позиція, нейтральна до рівня й нахилу, все одно може втратити гроші на зміні форми.

Локальна деформація: окремий страйк або вузька область рухається незалежно. Це трапляється навколо страйків із великим відкритим інтересом (пін-ризик), бар'єрних рівнів або незвичного потоку в певній експірації.

Поверхня в різних ринкових режимах

Спокійні умови, без великих подій. Помірний пут-скос, легке контанго.

Страйк	7 DTE	30 DTE	90 DTE
85k (OTM Put)	58%	55%	52%
90k	54%	52%	50%
95k	51%	50%	48%
100k (ATM)	48%	48%	47%
105k	46%	47%	46%
110k	45%	46%	46%
115k (OTM Call)	44%	45%	45%

На що звернути увагу:

• Помірний пут-скос (~14 пунктів вол. від пута до колла)
• Легке контанго (дальній строк трохи нижче)
• ATM вол. близько 48% - типово для спокійного BTC

Зверніть увагу на закономірність: кризові поверхні мають IV у 2-3 рази вищу, ніж на спокійних ринках. Зазвичай у скью домінують пути, але ейфорія може перевернути його. Спокійні ринки дають контанго, події дають беквордацію. Поверхні перед подіями мають товсті крила з обох боків, бо напрямок невизначений.

Побудуйте власну

Налаштовуйте значення IV, перевіряйте наявність арбітражу та дивіться результат у реальному часі.

Створіть свій власний скос

Спокійний ринок, помірний скос пут-опціонів

ATM Вол: 50%

25Δ Ризик-реверсал: +4.0%

25Δ Батерфлай: +5.3%

Strike	Delta	IV(click to edit)
$80k	10Δ Put	67%
$85k	15Δ Put	62%
$90k	25Δ Put	57%
$95k	40Δ Put	53%
$100k	ATM	50%
$105k	40Δ Call	51%
$110k	25Δ Call	53%
$115k	15Δ Call	56%
$120k	10Δ Call	59%

ATM Vol: 50%

Put Skew: +12 vol pts

Call Skew: +4 vol pts

Smile Width: 5

Click IV values in the table to edit directly. Invalid configurations will show arbitrage warnings.

Equation Explorer

Підставляйте значення та обчислюйте ключові величини, що використовуються на цій сторінці: загальну дисперсію, форвардну волатильність, логарифмічну монейність і ціноутворення за BS.

Дослідник рівнянь

Спот (S)

$

Страйк (K)

$

Днів до експірації

днів

Безризикова ставка

%

Імпліцитна вол. (σ)

%

Ціна колла

$8300

Ціна пута

$7890

Δ колла

0.555

d₁

0.102

Вега

$114

Практична мудрість

Кілька речей, які варто пам'ятати під час роботи з поверхнями волатильності:

Поверхня є моделлю, а не реальністю. Лише частина точок сітки походить із реальних угод. Коли ви торгуєте неліквідним страйком, перевірте спред бід-аск. Широкий спред означає вихід моделі. Вузький спред означає реальну ліквідність.

Котирування на крилах невизначені. Рівні волатильності глибоко OTM сильно залежать від моделі калібровки. Дві платформи з різними методами показуватимуть різні IV на крилах для того самого базового активу. ATM грецькі найнадійніші.

Не порівнюйте веги на різних строках. Позиція з вегою $100k у 7-денних опціонах значно чутливіша, ніж $100k веги в 6-місячних опціонах. Зважуйте свої веги (квадратний корінь із часу для початку, емпіричні співвідношення краще), перш ніж їх сальдувати.

Гістограма бреше про скью. Скью не можна вивести з гістограми минулих дохідностей. Гістограми приховують траєкторію: те, що волатильність зростає під час розпродажів і стискається під час ралі. Скью стосується спільного руху споту й волатильності вздовж траєкторії, а не форми кінцевого розподілу.

Модель Блека-Шоулза хибна, але корисна. Трейдери вирішили викривити параметр волатильності хибної моделі (створивши поверхню), замість того щоб прийняти «правильну» модель із більшою кількістю параметрів. Кожен додатковий параметр потрібно оцінювати, а похибки оцінювання накопичуються. Поверхня є прагматичною відповіддю ринку.

---

Детально про моделі: SVI | ORC Wing | SABR | Локальна волатильність | Порівняння всіх методів

Пов'язане: Поверхня волатильності | Імпліцитна волатильність | Скью | Часова структура