Стрибково-дифузійна модель Мертона

Модель Блека-Шоулза припускає, що ціни рухаються плавно, без гепів і раптових обвалів. Мертон (1976) додає стрибки. Ціна може раптово телепортуватися вгору або вниз, а не лише дифундувати. Ринок відкривається з гепом. Стейблкоїн втрачає прив'язку за один блок.

Звідси безпосередньо випливають товсті хвости та круті короткострокові посмішки. Більше ризику стрибків = крутіші крила на поверхні волатильності.

💡

Чому стрибки важливі для опціонів

OTM пут-опціон з експірацією через 2 дні за моделлю Блека-Шоулза майже нічого не вартий: дифузії бракує часу, щоб дістатися страйку. Але якщо ринок може стрибнути на 15% за ніч, цей пут має реальну вартість. Стрибкові моделі це враховують. Саме тому короткострокові посмішки такі круті.

Дослідіть параметри

Почніть з режиму "Без стрибків", щоб побачити пласку посмішку Блека-Шоулза. Потім перемкніться на "Ризик обвалу" і спостерігайте, як пут-крило стає крутішим.

Дослідник усмішки моделі Merton (стрибкова дифузія)

Один очікуваний обвал на рік, у середньому -15%. Крутий пут-скью через ризик стрибків униз.

Інтенсивність стрибків1.00

Очікувана кількість стрибків на рік. 0 = Black-Scholes.

Середній розмір стрибка-0.15

Від'ємне = ухил до обвалу. -0.10 означає стрибок у середньому на -10%.

Волатильність стрибків0.20

Наскільки мінливий кожен стрибок. Вище = крутіші крила.

Базова волатильність0.20

Дифузійна волатильність (між стрибками).

Почніть із «Без стрибків», щоб побачити плоский Black-Scholes, а потім перейдіть до «Ризик обвалу», щоб побачити, як стрибки створюють скью.

Що робить кожен параметр

• Лямбда (інтенсивність стрибків): скільки стрибків на рік ви очікуєте. Нуль = Блек-Шоулз. Одиниця = приблизно одна подія масштабу обвалу на рік. У крипті це може бути 2-3.
• Середній розмір стрибка: середній напрямок стрибка. Від'ємне значення = обвали трапляються частіше, ніж сплески. Саме це створює скью пут-опціонів.
• Волатильність стрибків: наскільки мінливий кожен стрибок. Навіть якщо середній стрибок дорівнює нулю, висока волатильність стрибків створює товсті хвости (обидва крила піднімаються).
• Базова волатильність (сигма): звичайна дифузійна волатильність між стрибками. Вона задає загальний рівень.

Як стрибки формують посмішку

Зміна параметра

Вплив на посмішку

Інтуїція

Збільшити лямбду

Обидва крила піднімаються

Більше стрибків = більше хвостового ризику = OTM опціони дорожчають

Більш від'ємний середній стрибок

Пут-крило стає крутішим

Обвали ймовірніші за сплески, тому пути дорожчають

Збільшити волатильність стрибків

Крила стають крутішими

Кожен стрибок менш передбачуваний, тому екстремальні рухи стають імовірнішими

Збільшити базову волатильність

Уся посмішка зсувається вгору

Вища дифузійна волатильність підвищує ціни всіх опціонів

Стрибкова посмішка проти посмішки стохастичної волатильності

Мертон і Гестон (стохастична волатильність) обидва дають посмішку, але по-різному. Ця різниця важлива для торгівлі.

Мертон (стрибки)

Гестон (стох. волатильність)

Що створює посмішку?

Раптові цінові гепи

Випадкова волатильність

Поведінка на коротких строках

Крута посмішка (домінує ризик стрибків)

Помірна посмішка (волатильності бракує часу змінитися)

Поведінка на довгих строках

Посмішка вирівнюється (стрибки усереднюються)

Посмішка зберігається (випадковість волатильності накопичується)

Форма хвостів

Товсті хвости від дискретних стрибків

Товсті хвости від кластеризації волатильності

Найкраще підходить для

Короткострокових опціонів, подієвого ризику

Довгострокових опціонів, торгівлі волатильністю

ℹ️

Короткі строки проти довгих

Модель Мертона найкорисніша для короткострокових опціонів, де домінує ризик стрибків. На довших строках вступає в дію центральна гранична теорема: багато дрібних стрибків виглядають як дифузія, і посмішка, створена лише стрибками, згасає. На довгому кінці часової структури першість переходить до стохастичної волатильності.

Мертон у крипті

Крипта, мабуть, саме те місце, де модель Мертона важить найбільше. Ринки працюють 24/7, але розриви ліквідності трапляються часто: збої бірж, відмови оракулів, раптові каскади ліквідацій. Це і є стрибки. Рівень ATM може змінитися мало, але крила різко стають крутішими.

Крипто-подія

Характер стрибка

Вплив на посмішку

Флеш-крах / каскад ліквідацій

Великий від'ємний стрибок

Крутий пут-скью, особливо на коротких строках

Втрата прив'язки стейблкоїна

Від'ємний стрибок з високою волатильністю

Екстремальне пут-крило, підняте колл-крило

Позитивний каталізатор (схвалення ETF тощо)

Додатний стрибок

Колл-крило піднімається, тимчасовий розворот скью

Збій біржі під час волатильності

Геп у будь-якому напрямку

Обидва крила підняті (чистий ексцес)

💡

Найпростіша модель, що оцінює ризик гепів

Модель Мертона пояснює, чому короткострокові OTM опціони дорожчі, ніж передбачає Блек-Шоулз. Якщо ви торгуєте тижневими або короткостроковими крипто-опціонами, насправді ви оцінюєте саме ризик стрибків. Дельта-хеджування за Мертоном відрізняється від Блека-Шоулза, бо стрибкову компоненту неможливо захеджувати: реплікувати можна лише дифузійну частину. Експозиція до веги структурно вища.

Дослідник рівнянь

Перетворюйте між імпліцитною волатильністю, сумарною дисперсією, лог-монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Чому Блек-Шоулз недооцінює короткострокові OTM опціони?

Q: Що відбувається з посмішкою Мертона зі збільшенням строку до експірації?

Q: Якщо середній розмір стрибка нульовий, але волатильність стрибків висока, як виглядає посмішка?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Формування математичної інтуїції

Вивчіть стрибки Мертона з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок починається з простого питання "а що, як ціна може телепортуватися?" і далі вибудовує повну інтуїцію щодо інтенсивності стрибків, їхнього розміру та того, чому короткострокові крила стають дорогими.

---

Див. також:

• Блек-Шоулз -- базова модель без стрибків
• Модель Гестона -- стохастична волатильність (інший спосіб отримати посмішку)
• Variance Gamma -- чисто стрибкова модель зовсім без дифузії
• Скью -- чому посмішка нахилена