Модель Rough Bergomi

Rough Bergomi пояснює те, що роками спантеличувало трейдерів: чому короткострокові усмішки волатильності такі круті? Виявляється, траєкторії волатильності на реальних ринках набагато рваніші, ніж припускають класичні моделі. Якщо виміряти «шорсткість» фактичної реалізованої волатильності BTC, ETH або S&P 500, вона виявиться значно більшою, ніж будь-що, що можуть відтворити Heston або SABR.

Ця модель не використовується для калібрування поверхні в реальному часі -- вона надто повільна. Її цінність теоретична: вона пояснює, чому поверхні волатильності мають саме такий вигляд, і дає правильну інтуїцію під час калібрування практичних моделей, як-от SVI, на короткострокових криптоопціонах. Патерни імпліцитної волатильності, які вона пояснює, помітні на кожному ліквідному ринку опціонів.

💡

Ідея шорсткості

Вимірювання на ринках акцій, FX і криптоактивів показують, що траєкторії волатильності набагато рваніші, ніж припускають стандартні моделі. Ця шорсткість природним чином породжує крутий короткостроковий скью, який спостерігається на ринках, -- без стрибків чи екстремальних параметрів.

Інтерактив: шорсткість і скью

Скористайтеся повзунком нижче, щоб побачити обидва ефекти параметра шорсткості (H) у дії. Ліва панель показує, як нижче значення H дає рваніші, нерегулярніші траєкторії. Права панель показує, як ця шорсткість перетворюється на крутіший короткостроковий скью.

Дослідник шорстких траєкторій

H (показник Херста)0.10

Шорсткіше (більш зубчасті траєкторії, крутіший скью)Гладкіше (стандартний броунівський рух)

Шорсткість траєкторії

Скью ATM vs строк до експірації (log-log)

Перетягніть повзунок, щоб змінити H. Менше H дає більш зубчасті траєкторії (ліворуч) і крутіший скью на коротких строках (праворуч). За H=0.5 траєкторія є стандартним броунівським рухом, а скью спадає за класичним законом T^(-0.5).

Що означає «шорстка»

Класичні моделі, як-от Heston, задають волатильності плавні, м'яко звивисті траєкторії -- як у річки. Rough Bergomi задає волатильності рвані траєкторії, схожі на берегову лінію. Це не вибір моделювання -- це те, що показують дані, коли вимірювати реальні траєкторії волатильності з високою частотою.

Шорсткість визначається одним числом: параметром Херста H. Нижче H = шорсткіші траєкторії = крутіший короткостроковий скью.

Значення H

Характер траєкторії

Що це означає для скью

0.1 (спостережуване)

Надзвичайно шорсткі, гострі, схожі на берегову лінію

Дуже крутий короткостроковий скью. Відповідає ринкам BTC/ETH.

0.3

Помірно шорсткі, помітне тремтіння

Помірний короткостроковий скью. Крутіший за класичний, але менший за спостережуваний.

0.5 (класичне)

Стандартний броунівський рух -- виглядає плавно

Класичний скью. На дуже коротких строках вирівнюється до константи, тож короткострокового скью значно замало.

💡

H близько 0.1 -- це факт, а не вибір

Дослідники отримують H близько 0.1 незалежно від того, що вимірюють: S&P 500, окремі акції, BTC чи ETH. Самі дані кажуть, що траєкторії волатильності шорсткі. Модель побудована на тому, що показують дані.

Степеневий закон ATM-скью

Параметр шорсткості H визначає, як ATM скью згасає від коротких до довгих експірацій. За H близько 0.1 короткостроковий скью крутий і вирівнюється з подовженням строку. Цей єдиний параметр пояснює всю часову структуру скью від 1 дня до 1 року -- як на крипторинку, так і на ринку акцій.

Класичні дифузійні моделі (Heston, SABR) систематично помиляються: їхній ATM-скью прямує до константи зі скороченням строку до експірації, тож вони недооцінюють скью на 1 день, якщо параметри не доведені до крайнощів, які потім спотворюють довші експірації. Rough Bergomi з H близько 0.1 знаходить баланс. Фреймворк Black-Scholes взагалі не здатен відтворити цю степеневу поведінку.

💡

Пояснення крутого короткострокового скью

Rough Bergomi пояснює, чому короткостроковий скью такий крутий. Це теоретичне розуміння, а не продакшн-інструмент.

Параметри

Три вільні параметри плюс крива форвардної дисперсії з ринкових даних.

Параметр

Типове значення

Що він робить

H (Херст)

0.07 - 0.12

Шорсткість траєкторій волатильності. Нижче = шорсткіше = крутіший короткостроковий скью

eta (волатильність волатильності)

1.5 - 3.0

Наскільки сильно коливається волатильність. Визначає ширину усмішки та рівень метелика

rho (кореляція)

-0.7 to -0.9

Кореляція спот-волатильність. Відʼємна = пут-скью (стандарт)

Сильні сторони та обмеження

Сильна сторона

Що це означає для вас

Відповідає спостережуваному масштабуванню скью

Один параметр (H) пояснює, як скью згасає від коротких до довгих експірацій. Працює для криптоактивів і акцій.

Пояснює круті короткострокові усмішки

Класичним моделям потрібні екстремальні параметри або додані стрибки. Rough Bergomi природно дає крутий короткостроковий скью.

Емпірично обґрунтована

H близько 0.1 виміряно з реальних даних, а не обрано для зручності.

Обмеження

Що це означає для вас

Немає формули ціноутворення

Кожна ціна потребує симуляції Монте-Карло. На порядки повільніше, ніж SABR або SVI.

Залежить від траєкторії (памʼятає свою історію)

Неможливо записати PDE для цін опціонів. Немає простого чисельного розвʼязувача. Греки, як-от дельта і вега, доводиться обчислювати симуляцією.

Калібрування триває від хвилин до годин

Кожен кандидатний набір параметрів потребує повного прогону Монте-Карло. Для порівняння, SVI калібрується за мілісекунди.

Непрактична для використання в реальному часі

Продакшн-поверхні волатильності мають оновлюватися за мілісекунди. Rough Bergomi надто повільна.

Порівняння з класичними моделями

Властивість

Rough Bergomi

Heston

SABR

Масштабування скью

Правильне (степеневий закон на основі H)

Неправильне (надто пласке на коротких строках)

Неправильне (та сама проблема)

Швидкість ціноутворення

Лише Монте-Карло (повільно)

Напіваналітична (швидко)

Формула (найшвидше)

Швидкість калібрування

Від хвилин до годин

Секунди

Мілісекунди

Короткострокова усмішка

Відмінно

Погано без стрибків

Помірно

Найкраще для

Теоретичне розуміння, дослідження скью

Екзотика на акції, структуровані продукти

Ставки, FX, калібрування усмішки для криптоактивів

Чому це важливо для криптоактивів

ℹ️

Лінза, а не продакшн-інструмент

Rough Bergomi схожа на Black-Scholes -- це не модель, яку запускають у продакшні, а фреймворк, що дає правильну мову та інтуїцію.

Вона пояснює, чому усмішки криптоактивів мають такий вигляд. Поверхні волатильності BTC і ETH мають крутий короткостроковий скью. Rough Bergomi каже: ця крутизна є природним наслідком шорстких траєкторій волатильності, які й показують дані.

Вона дає правильне апріорне припущення для калібрування SVI. Якщо ви калібруєте SVI на розріджених короткострокових даних, шорстка волатильність підказує, що скью має бути крутим. Степеневий закон дає кількісне очікування того, як скью має змінюватися між експіраціями. Це корисно, коли даних мало. На кожному страйку очікувана імпліцитна волатильність випливає із шорсткості процесу дисперсії базового активу.

Вона окреслює межу досліджень. Калібрування моделей шорсткої волатильності за допомогою глибокого навчання, гібридні rough-local vol моделі та варіанти rough Heston колись можуть стати достатньо швидкими для роботи в реальному часі. Розуміння фреймворку зараз означає, що ви впізнаєте ці інструменти, коли вони з'являться. Такі поняття, як хеджування дельти та експозиція до веги, залишаються тими самими, але їх обчислення в шорсткій динаміці стає значно складнішим. Складність полягає в тому, щоб обчислювати ці греки без порушень календарного арбітражу під час зшивання симульованих зрізів, до чого особливо чутливі OTM крила.

Дослідник рівнянь

Перетворюйте між імпліцитною волатильністю, сумарною дисперсією, лог-монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

Самоперевірка

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Чому Rough Bergomi дає крутіший короткостроковий скью, ніж Heston або SABR, без потреби в екстремальних параметрах?

Q: Якщо Rough Bergomi теоретично краща, чому її не використовують для калібрування поверхні волатильності в реальному часі?

Q: Трейдер помічає, що скью імпліцитної волатильності BTC на 1 день набагато крутіший, ніж на 30 днів. Як це пояснює шорстка волатильність?

Q: Як ідея шорсткої волатильності може допомогти під час калібрування SVI на розріджених короткострокових даних криптоактивів?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Розвиток математичної інтуїції

Вивчіть Rough Bergomi з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок починається з ідеї шорсткої волатильності, а потім пояснює параметр Херста, процес дисперсії та те, чому шорсткість природно робить крутішим короткий кінець усмішки.

---

Див. також:

• Модель SABR -- Модель стохастичної волатильності для динаміки усмішки
• Модель Heston -- Класична стохастична волатильність з дисперсією, що повертається до середнього
• Параметризація SVI -- Практичний метод калібрування усмішки
• SSVI (Surface SVI) -- Розширення на поверхню без календарного арбітражу
• Скью -- Емпірична поведінка скью та його вимірювання
• Часова структура -- Як волатильність змінюється між експіраціями
• Методи інтерполяції -- Порівняння всіх методів