Модель SABR

інфо

Ця сторінка детально розглядає модель SABR. Про те, яке місце вона посідає в конвеєрі побудови поверхні волатильності, див. Як будуються поверхні. Порівняння з іншими методами див. у розділі Методи інтерполяції.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) є моделлю стохастичної волатильності, яку запропонували Хаган, Кумар, Лесневскі та Вудворд (2002). На відміну від SVI, що описує форму смайлу, SABR описує динаміку, яка його породжує. Смайл випливає з моделі як наслідок того, як волатильність змінюється разом із базовим активом.

SABR є домінуючою моделлю для процентних свопціонів, а також кепів і флорів. У крипто вона менш поширена: там перевагу надають SVI через простіше підганяння та кращу поведінку на крилах.

Дослідіть параметри

Змінюйте кожен параметр, щоб побачити, як змінюється смайл SABR. Увімкніть "Show backbone", щоб побачити криву лише CEV (який вигляд має смайл без волатильності волатильності).

Дослідник усмішки SABR

Типова усмішка свопціонів на процентні ставки. Помірний скью, слабка кривизна.

α (рівень вол.)0.30

Поточна миттєва волатильність

β (бекбон)0.50

0 = нормальний, 0.5 = корінь, 1 = лог-нормальний

ρ (кореляція спот-вол)-0.30

Від'ємна = пут-скью (звичайно)

ν (вол-оф-вол)0.40

Керує шириною усмішки. 0 = без усмішки.

Увімкніть «Показати бекбон», щоб побачити криву лише CEV (без вол-оф-вол). Розрив між бекбоном і повною усмішкою — це внесок ν.

Що робить кожен параметр

• $\alpha$ (рівень волатильності): поточна миттєва волатильність. Вище $\alpha$ означає вищу загальну IV. Це параметр, який перекалібровують найчастіше.
• $\beta$ (хребет): визначає, як волатильність масштабується з ціною базового активу. $\beta = 1$ означає, що відсоткова волатильність стала (логнормальна модель). $\beta = 0$ означає, що доларова волатильність стала (нормальна модель). $\beta = 0.5$ є проміжним варіантом (квадратний корінь). На практиці $\beta$ зазвичай фіксують згідно з ринковою конвенцією, а не підганяють.
• $\rho$ (кореляція спот-волатильність): визначає скью. Від'ємне $\rho$ означає, що волатильність зростає, коли базовий актив падає (звична поведінка для акцій і крипто). Додатне $\rho$ означає протилежне (рідко).
• $\nu$ (волатильність волатильності): визначає ширину смайлу. Коли $\nu = 0$, смайлу немає, лишається тільки скью, яке створюють $\beta$ і $\rho$ ("хребет"). Зі зростанням $\nu$ обидва крила піднімаються.

Хребет

Натисніть "Show backbone" у дослідникові вище. Пунктирна лінія відображає смайл при $\nu = 0$: жодної випадковості у волатильності, лише детермінована модель CEV. Різниця між хребтом і повним смайлом є внеском $\nu$ (волатильності волатильності). Така декомпозиція унікальна для SABR і дає трейдерам чітке інтуїтивне розуміння того, звідки береться кривизна смайлу.

Калібрування

Стандартний підхід

1. Зафіксуйте $\beta$ згідно з ринковою конвенцією:

   • Процентні ставки: $\beta = 0.5$ (поширено) або $\beta = 0$ (нормальна SABR)
   • Акції: $\beta = 1$ (логнормальна)
   • Із фіксованим $\beta$ модель має 3 вільні параметри.

2. Прив'яжіть $\alpha$ до ATM-волатильності. Між $\alpha$ та ATM імпліцитною волатильністю існує майже замкнена залежність. Маючи спостережувану ATM IV, розв'яжіть рівняння відносно $\alpha$. Це скорочує підганяння до 2 вільних параметрів.

3. Підберіть $\rho$ і $\nu$, мінімізуючи зважену похибку між смайлом SABR і спостережуваними IV за страйками. Лише з 2 параметрами це швидко й надійно.

Зважування

• ATM отримує найбільшу вагу (найліквідніші, найнадійніші дані)
• Опціони з вузьким спредом бід/аск отримують більшу вагу
• Глибоко OTM опціони отримують меншу вагу (там апроксимація Хагана менш точна)

Переваги

Динамічна інтерпретація. SABR показує, як має рухатися смайл, коли рухається базовий актив. За замовчуванням SABR дає поведінку, подібну до sticky-delta: коли спот падає, волатильність зростає (якщо $\rho < 0$), і смайл зсувається разом зі спотом. Це цінно для продуктів, де динаміка смайлу важлива для хеджування.

Декомпозиція хребта. Розділення хребта (скью, зумовлене $\beta$) і смайлу (кривизна, зумовлена $\nu$) дає трейдерам чітку ментальну модель.

Ощадливість. Із фіксованим $\beta$ і прив'язаним до ATM $\alpha$ ви підганяєте лише 2 параметри. Це швидко й залишає мало простору для перенавчання.

Обмеження

Проблеми на крилах. Апроксимація Хагана може давати від'ємну імпліцитну волатильність або від'ємну щільність ймовірності на далеких крилах. Це відома проблема. Продакшн-системи використовують виправлені формулювання (безарбітражна SABR або PDE-розв'язувач для екстремальних страйків).

Довгі строки. Асимптотичний розклад погіршується для строків понад 10-15 років. Натомість використовуйте чисельний метод.

Статичне підганяння, а не динамічне калібрування. Попри динамічну інтерпретацію SABR, на практиці кожну експірацію підганяють незалежно (так само, як SVI). Динамічна історія є радше прагненням, ніж тим, що забезпечується на практиці.

SABR проти SVI

	SABR	SVI
Що моделює	Динаміку, яка породжує смайл	Форму смайлу
Параметри	3 (із фіксованим $\beta$)	5
Арбітраж	Формула Хагана може порушувати його на крилах	Доступні чисті обмеження
Поведінка на крилах	Може ламатися для екстремальних страйків	Обмежена, лінійні асимптоти
Швидкість	Обчислення формули	Оптимізація
Найкраще для	Процентні ставки, FX	Акції, крипто

Ключова відмінність: SABR відповідає на питання "як смайл рухається?", тоді як SVI відповідає на питання "який вигляд має смайл?". Для простого ціноутворення європейських опціонів і ризику зазвичай виграють простіше підганяння та краща поведінка SVI на крилах. Для продуктів, де динаміка смайлу важлива (бермудські свопціони, бар'єрні опціони за sticky-delta), динамічна інтерпретація SABR є цінною.

Зв'язок із SVI

SABR може ініціалізувати підганяння SVI. Спочатку підберіть SABR (швидка оптимізація 2 параметрів), обчисліть смайл SABR на багатьох страйках, а потім підберіть SVI до цих точок. Це дає SVI добру стартову точку, коли ринкових даних мало.

Розвиток математичної інтуїції

Вивчіть SABR з нуляІнтерактивний урок · 4 параметри, 5 розділів

Інтерактивний урок вище по черзі розбирає чотири параметри SABR: як alpha задає рівень волатильності, як rho нахиляє скью, як nu піднімає крила і як beta керує динамікою хребта. Кожен розділ має окремий повзунок, тож ви можете ізолювати вплив одного параметра.

Реалізації з відкритим кодом

Репозиторій	Чому варто переглянути
QuantLib	Апроксимація Хагана для SABR + калібрування
pysabr	Реалізація SABR на чистому Python, легко читається
OpenGamma Strata	SABR з інтерполяцією смайлу в продакшн-розрахунках ризику

---

Див. також:

• Параметризація SVI - Смайл для кожної експірації, який Hypercall підганяє для своїх поверхонь опціонів на акції
• Локальна волатильність - Поверхня миттєвої волатильності Дюпіра
• Методи інтерполяції - Порівняння всіх методів
• Як будуються поверхні - Повний конвеєр