Прості та базові моделі
Будівельні блоки. Black-Scholes: постійна волатильність, без усмішки. CEV додає один параметр, щоб отримати скью. Displaced Diffusion зсуває цінову вісь, щоб працювати з від'ємними ставками. Вони надто прості для підгонки усмішки в продакшені, але кожна складна модель розширює одну з них.
Кожна складна модель розширює просту
SABR потребує CEV (свого каркаса). Heston потребує Black-Scholes (свого окремого випадку). Почніть звідси.
Коротко
Що їх об'єднує
Усі чотири моделі описують єдиний дифузійний процес для ціни базового активу. Жодна з них не має стохастичної волатильності, стрибків чи будь-якого другого джерела випадковості. Вони відрізняються тим, яку динаміку ціни припускають.
Як вони пов'язані між собою
Black-Scholes є базовою лінією: постійна волатильність, логнормальна ціна, без усмішки. CEV узагальнює її, змушуючи волатильність масштабуватися з рівнем ціни (sigma, помножена на S у степені beta мінус один), що дає скью. Це каркас SABR: коли SABR задає свою компоненту локальної волатильності, вона використовує CEV. Displaced Diffusion іде іншим шляхом: вона зсуває цінову вісь (моделює S + d замість S), що також дає скью і дозволяє працювати з від'ємними ставками або цінами. Для малих зсувів вона поводиться подібно до CEV. Bachelier є адитивною версією Black-Scholes: ціни мають нормальний розподіл замість логнормального. Вона дає пласку усмішку (у термінах нормальної волатильності) і природно допускає від'ємні ціни, тому вона стала стандартом для опціонів на процентні ставки, коли ставки стали від'ємними.
Моделі в цьому розділі:
- Black-Scholes - Фундамент
- Модель CEV - Волатильність масштабується з ціною
- Displaced Diffusion - Зсунутий логнормальний процес
- Bachelier - Нормальна динаміка, адитивна волатильність