Стохастична локальна волатильність (SLV)

SLV використовує більшість професійних деск-команд. Модель поєднує локальну та стохастичну волатильність. Жодна з них окремо не підходить для реальної торгівлі. Мета: поверхня волатильності, яка відповідає сьогоднішньому ринку і рухається реалістично.

💡

Локальна волатильність відповідає сьогоднішньому ринку, стохастична правильно рухається, SLV робить і те, і інше

Локальна волатильність точно відтворює сьогоднішній смайл, але помиляється в динаміці (смайл надто сильно рухається разом зі спотом). Стохастична волатильність правильно передає динаміку, але помиляється у формі смайлу (недостатній скью). SLV їх змішує.

Змішування в дії

Перетягуйте повзунок між чистою локальною та чистою стохастичною волатильністю.

Демо змішування SLV

Збалансована суміш. Саме це насправді використовує більшість продакшн-десків. Найкраще з обох підходів.

Коефіцієнт змішування0.50

0 = чиста локальна вол.50% Local / 50% Stochastic1 = чиста стохастична вол.

Зелена крива SLV поєднує помаранчеву усмішку локальної волатильності та синю усмішку стохастичної волатильності. Більшість десків працює приблизно на рівні 50/50.

Що ви бачите

• Помаранчева пунктирна лінія (локальна волатильність): смайл локальної волатильності Дюпіра. Крута, реалістична форма -- ідеально відповідає сьогоднішньому ринку. Але з неї випливає, що смайл майже не рухається, коли рухається спот, а це неправильно.
• Синя пунктирна лінія (стохастична волатильність): смайл у стилі Хестона. Плавніший, із меншим скью. Він добре прогнозує рух смайлу, але сам по собі не може відтворити поточну ринкову форму.
• Зелена суцільна лінія (суміш SLV): робоча модель. Зважена суміш обох. При співвідношенні 50/50 ви отримуєте смайл, який відповідає сьогоднішньому ринку і рухається реалістично.

Чому не використовувати лише одну?

Модель

Відповідає ринку сьогодні?

Правильна динаміка?

Готова до продакшну?

Локальна волатильність (Дюпір)

Ідеально

Неправильна

Рідко окремо

Стохастична волатильність (Хестон)

Приблизно

Добра

Іноді

SLV (суміш)

Ідеально

Добра

Так

Як працює змішування

Візьміть модель стохастичної волатильності (наприклад, Хестона) і помножте її імпліцитну волатильність на функцію левериджу, отриману з локальної волатильності. Функція левериджу -- це коефіцієнт, завдяки якому суміш точно відповідає сьогоднішньому ринку.

• Коефіцієнт змішування близько 0 (переважає локальна волатильність): більшу частину роботи виконує функція левериджу. Смайл ідеально відповідає ринку, але рухається нереалістично.
• Коефіцієнт змішування близько 1 (переважає стохастична волатильність): функція левериджу майже пласка (близька до 1 скрізь). Смайл може не ідеально відповідати ринку, але динаміка реалістична.
• Коефіцієнт змішування близько 0.5: оптимальна точка, до якої прагне більшість деск-команд. Добра відповідність, добра динаміка.

ℹ️

Функція левериджу виконує роботу з калібрування

Функція левериджу $L(S, t)$ поглинає все, що не може пояснити компонент стохастичної волатильності. Пласка функція левериджу означає, що всю роботу виконує стохастична волатильність. Сильно змінна означає, що всю роботу виконує локальна волатильність. У продакшні ви хочете, щоб вона плавно змінювалася поблизу ATM -- це означає, що суміш збалансована.

Коли коефіцієнт змішування має значення?

Для ванільних європейських опціонів він майже не має значення -- будь-яка суміш, що відтворює сьогоднішній смайл, оцінює їх однаково. Коефіцієнт змішування важливий для продуктів, залежних від траєкторії, де динаміка смайлу впливає на ціну. Хеджі за дельтою та вегою для екзотичних продуктів можуть суттєво відрізнятися залежно від коефіцієнта змішування.

Продукт

Чутливість до змішування

Чому

Ванільний європейський

Відсутня

Ціна залежить лише від сьогоднішнього смайлу, який відтворюють усі суміші

Барʼєрний опціон

Висока

Імовірність досягнення барʼєра залежить від того, як смайл рухається разом зі спотом

Кліке / акумулятор

Дуже висока

Опціони з відкладеним стартом є чистими ставками на динаміку смайлу

Американський / бермудський

Помірна

Рішення про дострокове виконання залежить від майбутньої форми смайлу

Переваги та обмеження

Перевага

Що це означає для вас

Точно відповідає сьогоднішньому ринку

Функція левериджу гарантує ідеальне калібрування до всіх спостережуваних цін опціонів.

Реалістична динаміка

Компонент стохастичної волатильності забезпечує рух смайлу, що відповідає історичній поведінці.

Налаштовуваність

Коефіцієнт змішування дає вам регулятор між якістю відповідності та реалістичністю динаміки.

Галузевий стандарт

Саме цю модель використовують Goldman, JPM і більшість деск-команд першого рівня для ціноутворення екзотичних опціонів.

Обмеження

Що це означає для вас

Обчислювально затратна

Калібрування функції левериджу потребує методу Монте-Карло або розвʼязувачів PDE. Не в реальному часі.

Коефіцієнт змішування є вибором

Не існує «правильного» коефіцієнта змішування -- ви обираєте його на основі ефективності хеджування або атрибуції P&L екзотичних опціонів.

Функція левериджу може бути зашумленою

За розріджених ринкових даних (як у крипті) функція левериджу може бути нестабільною на крилах, особливо далеко від ATM.

Змішування важко хеджувати

Ви не можете безпосередньо спостерігати коефіцієнт змішування або торгувати ним. Це припущення моделі.

💡

Обов'язкова для екзотики, надмірна для ванільних опціонів

Для ціноутворення або хеджування бар'єрних опціонів, кліке, автоколів SLV є мінімально придатною моделлю. Для ванільних опціонів використовуйте натомість SVI або SABR. Поведінка часової структури визначається компонентом стохастичної волатильності.

Дослідник рівнянь

Перетворюйте між імпліцитною волатильністю, сумарною дисперсією, лог-монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Імпліцитна вол. (σ)

%

Імпліцитна волатильність

Час до експірації

днів

Календарні дні до експірації

Загальна дисперсія (w)

0.022225

Річна дисперсія (σ²)

0.2704

IV (зворотний перерахунок)

52.00%

Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

---

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Чому локальна волатильність сама по собі не може забезпечити реалістичну динаміку смайлу?

Q: Що робить функція левериджу в SLV?

Q: Чи має значення коефіцієнт змішування для ванільних європейських опціонів?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Розвиток математичної інтуїції

Вивчіть SLV з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок пояснює, чому локальна і стохастична волатильність окремо не працюють, а потім показує, як функція левериджу змішує їх у робочу модель, яку фактично використовують багато деск-команд екзотичних опціонів.

---

Див. також:

• Модель SABR -- стохастична волатильність із backbone
• Модель Хестона -- найпоширеніша модель чистої стохастичної волатильності
• Локальна волатильність -- детермінований підхід Дюпіра
• Як будуються поверхні -- повний конвеєр