Цю сторінку перекладено автоматично. Оригінал англійською мовою є канонічним. Читати англійською →
Перейти к основному содержимому

Variance Gamma

Variance Gamma (VG): жодної дифузії. Ціни не рухаються плавно між стрибками -- кожен рух є стрибком. Стрибки відбуваються за випадковим годинником. Під час високої активності час біжить швидко, а в спокійні періоди повільно. Цей випадковий годинник створює товсті хвости без потреби в «розподілі розміру стрибків», як у моделі Мертона. Отримана поверхня волатильності може одночасно відтворювати реальний ринковий скью і ексцес.

Усе визначають три параметри: волатильність (sigma), скью (theta), ексцес (nu).

💡
Ідея випадкового годинника

Ринок має власний внутрішній годинник, що йде з випадковою швидкістю. У насичені дні годинник цокає швидко, і ціни сильно рухаються. У спокійні дні годинник ледве зрушує з місця. VG = Black-Scholes на випадковому годиннику. Товсті хвости та природна усмішка виникають самі собою, без жодних припущень про обвали чи розміри стрибків.

Дослідіть параметри​

Спершу спробуйте «Тонкі хвости», щоб побачити поведінку, близьку до Black-Scholes. Потім збільште nu (ексцес) і спостерігайте, як піднімаються крила.

Дослідник усмішки Variance Gamma

Від'ємний скью плюс важкі хвости. Класична крипто-усмішка: круте крило путів, підняте крило коллів.
46%53%60%758595ATM105115125СтрайкІмпліцитна волатильність (%)
Волатильність0.45
Загальний рівень волатильності. Вище = усе дорожче.
θ (скью)-0.15
Від'ємне = скью путів. Визначає, який бік усмішки крутіший.
ν (ексцес)0.30
Керує товщиною хвостів. Вище = екстремальніші рухи, крутіші крила.

Спробуйте «Тонкі хвости», щоб побачити майже плоский Блек-Шоулз, а потім збільште ν, щоб побачити, як крила піднімаються через надлишковий ексцес.

Що робить кожен параметр​

  • Sigma (волатильність): базова волатильність, коли годинник цокає з нормальною швидкістю. Це загальний рівень, подібний до волатильності ATM.
  • Theta (скью): дрейф процесу. Від'ємна theta означає, що за певний крок часу ринок схильний рухатися вниз сильніше, ніж угору. Це створює скью путів: ліве крило крутіше за праве.
  • Nu (ексцес): визначає, наскільки «випадковим» є годинник. Низьке nu = годинник цокає рівномірно (тонкі хвости, близько до Black-Scholes). Високе nu = годинник дуже нерівний (товсті хвости, круті крила). Опціони OTM стають значно дорожчими.
Параметр
Що контролює
Вплив на усмішку
σ (sigma)
Рівень волатильності
Зсуває всю усмішку вгору або вниз
θ (theta)
Скью / асиметрія
Від'ємне = круте крило путів. Нуль = симетрія.
ν (nu)
Товщина хвостів
Вище = обидва крила піднімаються. Нуль = немає надлишкового ексцесу (Black-Scholes).

Чому чисто стрибковий процес?​

Black-Scholes і навіть Мертон припускають неперервну дифузійну складову: більшу частину часу ціни рухаються плавно, з поодинокими стрибками. VG стверджує: можливо, увесь рух ціни є розривним. На рівні тіків ціни перестрибують з одного рівня на інший. Між угодами немає плавної траєкторії. Хеджування за дельтою за побудовою є неідеальним: ви не можете неперервно реплікувати виплату.

Це добрий опис того, як насправді працюють крипторинки, особливо на малоліквідних парах, де книга заявок тонка, а ціни перескакують з одного рівня на інший.

ℹ️
Три параметри, три моменти

VG елегантна тим, що кожен параметр прямо відповідає статистичній властивості дохідностей. Sigma контролює дисперсію (другий момент), theta контролює асиметрію (третій момент), а nu контролює надлишковий ексцес (четвертий момент). Жодної надлишковості, жодних проблем із кореляцією параметрів.

VG порівняно з іншими моделями​

Variance Gamma
Мертон
Black-Scholes
Траєкторія ціни
Лише стрибки (випадковий годинник)
Дифузія + поодинокі стрибки
Лише плавна дифузія
Поведінка хвостів
Товсті хвости через випадковість годинника
Товсті хвости через дискретні стрибки
Тонкі (гаусові) хвости
Параметри
3 (sigma, theta, nu)
4 (sigma, lambda, mu_J, sigma_J)
1 (sigma)
Форма усмішки
Плавна, керується 3 параметрами
Крута на коротких термінах, згасає на довгих
Пласка (без усмішки)
Найкраще для
Загальне підлаштування усмішки, низька ліквідність
Ризик подій, короткострокові опціони
Швидкі грубі оцінки, ліквідні ринки

VG на практиці​

На традиційних деск-ах VG трапляється рідше, ніж Heston чи SABR, але має свою нішу в крипті та кредитних деривативах:

Сценарій
Чому VG
Криптоопціони на неліквідних парах
Чисто стрибкова природа відповідає рваному руху ціни. Не потрібно штучно вводити неперервну дифузію.
Кредитні деривативи
Дефолт є стрибковою подією. VG природно працює з розривними виплатами.
Швидке підлаштування усмішки за 3 параметрами
Менше параметрів, ніж у Heston (5) чи Мертона (4). Кожен параметр має чіткий зміст.
Узгодження моментів
Прямий контроль над дисперсією, асиметрією та ексцесом робить калібрування інтуїтивним.
💡
Один параметр на момент

Кожен параметр VG контролює рівно одну статистичну властивість дохідностей. Це найчистіше розділення скью і товщини хвостів серед усіх моделей усмішки. Експозиція за вегою у VG відрізняється від Black-Scholes, оскільки усмішка імпліцитної волатильності не пласка. Якщо вам потрібно більше, ніж Black-Scholes, але без складності Heston чи SLV, VG підходить.

Дослідник рівнянь​

Перетворюйте між імпліцитною волатильністю, сукупною дисперсією, логарифмічною монейністю та цінами опціонів.

Дослідник рівнянь

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
Імпліцитна волатильність
днів
Календарні дні до експірації
Загальна дисперсія (w)
0.022225
Річна дисперсія (σ²)
0.2704
IV (зворотний перерахунок)
52.00%
Загальна дисперсія — це те, що калібрують SVI та інші моделі. Вона зростає з часом, тому волатильність 50% на 30 днів має меншу загальну дисперсію, ніж 50% на 90 днів.

Перевірте своє розуміння перед продовженням.

Q: Що таке 'випадковий годинник' у Variance Gamma і чому він створює товсті хвости?
Q: Якщо theta дорівнює нулю, а nu високе, як виглядає усмішка?
Q: Чому VG може краще підходити, ніж Мертон, для криптоопціонів на неліквідних парах?

💡 Підказка: Спробуйте відповісти на кожне питання самостійно перед розкриттям відповіді.

Розвиток математичної інтуїції​

Вивчіть Variance Gamma з нуляІнтерактивний урок · без попередніх знань

Цей урок пояснює Variance Gamma через ментальну модель випадкового годинника, а потім показує, як theta, sigma та nu контролюють скью, розмір звичайних рухів і товщину хвостів.

Див. також:

Останнє оновлення